Разделы: Математика
Класс: 10
Тип урока: урок с применением современных компьютерных технологий.
На доске: число, тема урока, чертежи к задачам домашней работы.
На партах учащихся: листы бумаги для рефлексии, учебники, тетради, инструменты для выполнения чертежей.
Используемый УМК: компьютер, мультимедийная установка, ЦОР “Уроки геометрии Кирилла и Мефодия, 10 кл”, презентация”, учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. “Геометрия, 10–11”.
Цель урока:
- Образовательная: сформировать знания учащихся о скрещивающихся прямых, рассмотреть признак скрещивающихся прямых, теорему о проведении через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой, научить применять полученные знания на практике.
- Развивающая – работать над развитием понятийного аппарата, развивать логическое мышление, способность к исследованию, развивать навыки самоконтроля.
- Воспитательная – воспитывать ответственное отношение к труду, уверенность, трудоспособность, формировать основы научного мировоззрения, нравственные качества, навыки общения
Ход урока
1. Организационный момент. (2 мин.)
Цель: организация порядка на рабочих местах учащихся, организация внимания.
Взаимные приветствия, фиксация отсутствующих, проверка внешнего состояния классного помещения, проверка подготовленности класса к уроку (рабочее место, внешний вид, рабочая поза), организация внимания, формирование групп.
2. Подготовка учащихся к активному сознательному усвоению знаний. (10мин.)
Цель: организовать и направить к цели познавательную деятельность уч-ся.
1. Актуализация знаний по теме “Параллельные прямые в пространстве”.
Вопросы к учащимся:
– Верна ли формулировка признака параллельности прямой и плоскости: “Прямая,
параллельная какой-либо прямой на плоскости, параллельна и самой плоскости?
– Прямые a и b параллельны. Какое положение может занимать прямая a относительно
плоскости, проходящей через прямую b?
– Даны прямая и две пересекающиеся плоскости. Охарактеризовать все возможные
случаи их взаимного расположения.
2. Проверка домашнего задания.
На предыдущем уроке учащиеся получили разноуровневое домашнее задание (Приложение ).
В группах “сильные” учащиеся проверяют решения задачи базового уровня.
Проводится обсуждение решения задачи повышенного уровня. Учащиеся комментируют решение с использованием готовых чертежей.
3. Сообщение темы, целей изучения нового материала, показ его практической значимости.
Тема: “Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые”
Цели урока:
– познакомиться с понятием скрещивающихся прямых
– систематизировать случаи взаимного расположения прямых в пространстве
– рассмотреть признак скрещивающихся прямых и теорему о скрещивающихся прямых
– научиться находить пары скрещивающихся прямых, применять признак.
4. Объяснение нового материала. (15 мин.)
Цель: дать учащимся конкретное представление о скрещивающихся прямых, основной идее признака, добиться восприятия, осознания первичного обобщения и систематизации новых знаний.
1. Расположение прямых в пространстве (ответ уч-ся, запись в тетради схемы).
Лежат в одной плоскости.
2. ??? Задача.
  |
По теореме о трех параллельных прямых. Являются ли АА 1 и C параллельными?
Они пересекаются?
3. Определение: Две прямые называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости.
Третий случай расположения прямых в пространстве.
Прямые a и b не лежат в одной плоскости.
4. Признак скрещивающихся прямых.
5. Закрепление изученной теоремы. Чертеж демонстрируется через видеопроектор.
Группам розданы модели многоугольников. Рассмотреть различные пары скрещивающихся прямых на моделях, наблюдая факт, зафиксированный в признаке скрещивающихся прямых.
(Например, АА 1 В 1 В – куб. АА 1 и ДС – скрещивающиеся ребра. В каких плоскостях лежит прямая СД? Как располагается прямая АА 1 по отношению к этим плоскостям?)
6. Теорема о проведении через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.
Для “открытия” учащимся факта второй теоремы опять обратиться к рассмотрению моделей, каждый раз отвечая на вопросы: назовите плоскость, проходящую через одну из скрещивающихся прямых параллельно другой прямой? Сколько таких плоскостей? при рассмотрении третьей модели возникает проблема – можно ли через одну из скрещивающихся прямых построить плоскость, параллельную другой? Учащимся предлагается построить такую плоскость.
 |
 |
Таким образом доказали теорему о том, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Физкультминутка. (1 мин.)
Цель: снять напряжение, настроиться на дальнейшую работу
Встали, подняли руки вверх, за голову, локти в сторону, выровняли спину, опустили руки. Сделали 3–4 поворота головы в одну и другую сторону.
Упражнение для спины и плечевого сустава. Руки к плечам, локти в сторону, лопатки сдвинуть, спину выровнять и сделать 3–4 круговых движения в одну и другую сторону.
Сели. Упражнение для глаз. Поднять глаза на доску, затем на тетрадь и так 3–4 раза.
5. Закрепление нового материала. (15 мин.)
Цель: закрепить полученные знания и умения, закрепить методики предстоящего ответа ученика при очередной проверке знаний
1. Задача.
Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.
Построение:
1. Через точку К провести прямую а 1 || а.
2. Через точку К провести прямую b 1 || b.
3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.
2. Задача № 34 (устно, по готовому чертеже, демонстрация чертежа через видеопроектор). При решении требовать, чтобы учащиеся проговаривали формулировки признака.
 |
 |
3. Задача № 36.
Доказать, что b и с скрещивающиеся.
Чтобы доказать, что b и с скрещивающиеся, что надо доказать? (Что одна из них лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость.)
Через какие прямые мы можем провести плоскость? (Через пересекающиеся, через параллельные.)
Если мы проведем плоскость α. через пересекающиеся прямые a и с, то прямая b будет параллельная плоскости α. То есть нужно провести плоскость α через параллельные прямые a и b.
(Оформление решения.)
 |
 |
6. Подведение итогов. (2 мин.)
Цель: сообщить учащимся домашнее задание, разъяснить методику его выполнения, подвести итоги урока
1. Записывают задание на дом. п.7, № 35 (воспользоваться методом от противного), № 37.
2. Анализируют урок, по схеме на слайде и сдают листочки.
- усвоил полностью, могу применять;
- усвоил полностью, но затрудняюсь применять;
- усвоил частично;
- не усвоил, нужна консультация.
- вам было на уроке:
- легко;
- обычно;
- трудно.
Учитель объявляет оценки, отвечавшим у доски и тем, кто активно работал на уроке: отличился во время обсуждения домашнего задания, во время объяснения новой темы или справился с решениями задач раньше других и учитель их проверил.
При проверке тетради смотрим, верно ли решены задачи, выполнены построения, как учащиеся оценили степень своего усвоения материала, степень сложности урока. Какие задания выполнили верно, а какие нет, берем на заметку тех, кто материал не усвоил и тех, кто усвоил все. На основании анализа готовится следующий урок..
Список литературы, использованный при подготовке к уроку:
- Мустакимов Р.Д., “Геометрия – 10”, Казань, “Унипресс”, 1999 г.
- Ковалева Г.И. . “Геометрия 10 класс”, Волгоград, “Учитель”, 2005 г.
- Литвиненко В.Н.. “Задачи на развитие пространственных представлений”, М. “Просвещение”, 1991 г.
- 1.Параллельные прямые
- 2.Пересекающиеся прямые
- 3.Скрещивающиеся прямые
- 1)Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.
- 2)Признаки Параллельности:
- I. Две прямые, параллельные третьей параллельны.
- II. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
- III. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
- IV. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
- Две прямые называются пересекающимися если они имеют общую точку.
- Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.
- 1) Параллельные плоскости
- 2) Пересекающиеся плоскости
- Плоскости, не имеющие общих точек, называются Параллельными
- Плоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки
- Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются и не имеют общих точек
- Плоскость и прямая называются пересекающимися, если они имеют общую точку пересечения
- Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Ответьте на вопросы:
Да
- Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
- Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
- Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α . Верно ли, что прямая т параллельна плоскости β ?
- Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
- Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
Нет
Да
Нет
Нет
Решение задач
Точки Е, F,M,N – середины ребер.
1). Докажите: EF ll MN ;
2). Определите взаимное расположение прямых DC и AB
Дано: α || β
АО = 5,
ОВ = 4,
ОА 1 = 3,
А 1 В 1 = 6.
Найти: АВ и ОВ 1
A 1
B 1
Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
№ 6
B 1
C 1
Сечение проходит через точки M , N и P , лежащие на рёбрах BC , AD и AA 1 соответственно.
A 1
D 1
Тетраэдр DABC
№ 2
Сечение проходит через точку M , лежащую на ребре DA , параллельно грани ABC .
Найти: площадь сечения, тетраэдра с ребром равным 3 см, если точка М – середина ребра ДА.
Определите взаимное расположение прямых.
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
A 1
D 1
C 1
B 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
Определите взаимное расположение прямых и плоскостей.
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
Определите взаимное расположение плоскостей.
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A 1
- Скрещиваются.
- Пересекаются.
- Параллельны.
- Скрещиваются.
- Пересекаются.
- Параллельны.
- Пересекаются.
- Пересекаются.
- Параллельны.
- Параллельны.
- Пересекаются.
- Параллельны.
- Домашнее задание:
- 1. подг. к зачёту стр. 35-36 «Проверь себя»
Взаимное расположение прямых в пространстве Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: - прямые пересекаются, т.е. имеют только одну общую точку - прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются - прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости
А 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Свойство, выраженное в аксиоме А 2, используется для проверки « ровности » чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких - то местах между ними и поверхностью стола образуется просвет.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.
Параллельность прямой и плоскости Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно А2 вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: а) прямая лежит плоскости б) прямая и плоскость имеют одну общую точку, т. е. пересекаются в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки
Параллельность плоскостей Итак, мы знаем что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (аксиома А3). Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точки. Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных плоскостях дают пол и потолок комнаты, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола.
Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство Рассмотрим две плоскости и β. В плоскости лежат пересекающиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β- прямые a 1 и b 1, причем а а 1 и b 1. Докажем, что β. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а β и b β. Допустим, что плоскости и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой. Отсюда следует (по свойству 1 0) что прямые а и с параллельны. Но плоскость проходит также через прямую b, параллельную плоскости β. Поэтому b с. Таким образом, через точку М проходят две прямые а и b, параллельны прямой с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и, следовательно, β. Теорема доказана..
Cлайд 1
Cлайд 2
Цели урока: Ввести определение скрещивающихся прямых. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых.
Cлайд 3
Расположение прямых в пространстве: α α a b a b a ∩ b a || b Лежат в одной плоскости!
Cлайд 4
??? Дан куб АВСDA1B1C1D1 Являются ли параллельными прямые АА1 и DD1; АА1 и СС1 ? Почему? АА1 || DD1, как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются. АА1 || DD1; DD1 || CC1 →AA1 || CC1 по теореме о трех параллельных прямых. 2. Являются ли АА1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Cлайд 5
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. a b
Cлайд 6
Признак скрещивающихся прямых. Дано: АВ α, СD ∩ α = С, С АВ. a b Доказательство: Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β. Доказать, что АВ Скрещивается с СD А В С D α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая СD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с СD. Ч.т.д.
Cлайд 7
Закрепление изученной теоремы: Определить взаимное расположение прямых АВ1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА1В1В 3. Является ли прямая АВ1 параллельной плоскости DD1С1С?
Cлайд 8
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с СD. Построить α: АВ α, СD || α. А В C D Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || СD. Е 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α. АВ α, СD || α. α – единственная плоскость. Доказать, что α – единственная. 3. Доказательство: α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.
Cлайд 9
Задача. Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b. Построение: Через точку К провести прямую а1 || а. 2. Через точку К провести прямую b1 || b. а b К а1 b1 3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.
