Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы.
Пусть для матрицы А
порядка n
на n
существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X
и В
позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем 
. Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как 
, а по определению обратной матрицы (E
– единичная матрица порядка n
на n
), поэтому
Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .
Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.
К началу страницы
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.
Пример.
С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений 
.
Решение.
В матричной форме исходная система запишется как , где 
. Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем 
, следовательно, для матрицы А
может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.
Мы знаем, что для матрицы 
обратная матрица может быть найдена как 
, где - алгебраические дополнения элементов .
В нашем случае
Тогда
Выполним проверку полученного решения 
, подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
или в другой записи 
.
Пример.
Решите СЛАУ матричным методом.
Решение.
Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x 2
, второе –x 1
, третье – x 3
. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как 
. От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ 
. Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что :
Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений:
тогда,
Осталось найти решение СЛАУ:
Ответ:
.
При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ 
НЕЛЬЗЯ записать как 
. Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:
или 
Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместоx 1 , x 2 , …, x n
могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ 
в матричной форме запишется как 
.
Разберем пример.
Пример.
с помощью обратной матрицы.
Решение.
Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме 
. Вычислим определитель основной матрицы:
Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как 
. Найдем обратную матрицу по формуле 
:
Получим искомое решение:
Ответ:
x = 0, y = -2, z = 3 .
Пример.
Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений 
матричным методом.
Решение.
Определитель основной матрицы системы равен нулю
поэтому, мы не можем применить матричный метод.
Нахождение решения подобных систем описано в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений.
Пример.
Решите СЛАУ 
матричным методом, - некоторое действительное число.
Решение.
Система уравнений в матричной форме имеет вид 
. Вычислим определитель основной матрицы системы и убедимся в том, что он отличен от нуля:
Квадратных трехчлен не обращается в ноль ни при каких действительных значениях , так как его дискриминант отрицателен , поэтому определитель основной матрицы системы не равен нулю ни при каких действительных . По матричному методу имеем 
. Построим обратную матрицу по формуле :
Тогда
Ответ:
.К началу страницы
Подведем итог.
Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.
Системы линейных уравнений. Лекция 6.
Системы линейных уравнений.
Основные понятия.
Система видa
называется системой - линейных уравнений с неизвестными .
Числа , , называются коэффициентами системы .
Числа , называются свободными членами системы , – переменными системы . Матрица
называется основной матрицей системы , а матрица
– расширенной матрицей системы . Матрицы - столбцы
И - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы . Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде . Решением системы называется значений переменных , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца . Тогда справедливо матричное равенство .
Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.
Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.
Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение
Теорема Кронекера – Копелли.
Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными
(1)
Теорема 2 . Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (.
Теорема 3 . Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 4 . Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.
Правила решения систем.
3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.
4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.
Методы решения систем линейных уравнений.
Метод обратной матрицы.
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде
где
,
,
.
Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу
Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных
Пример
27.
Методом
обратной матрицы решить систему линейных
уравнений
Решение. Обозначим через основную матрицу системы
.
Пусть , тогда решение найдем по формуле .
Вычислим .
Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения
,
,
,
,
,
,
,
,
Таким образом
.
Сделаем проверку
.
Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных .
.
Сравнивая значения матриц, получим ответ: .
Метод Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном виде или
Обозначим
. . . . . . . . . . . . . . ,
Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера .
Пример
28.
Решить
методом Крамера следующую систему
линейных уравнений
.
Решение. Найдем определитель основной матрицы системы
.
Так как , то , система имеет единственное решение.
Найдем остальные определители для формул Крамера
,
,
.
По формулам Крамера находим значения переменных
Метод Гаусса.
Метод заключается в последовательном исключении переменных.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными.
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:
На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду
,
где , которой соответствует система
После
этого переменные
считаются свободными и в каждом уравнении
переносятся в правую часть.
На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Из этого уравнения
выражается
переменная
.
Этот процесс продолжается до первого
уравнения. В результате получается
выражение главных переменных
через
свободные переменные
.
Пример 29. Решить методом Гаусса следующую систему
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду
.
Так
как
больше числа неизвестных, то система
совместна и имеет бесконечное множество
решений. Запишем систему для ступенчатой
матрицы
Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные
Будут базисными а переменная – свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть
Из последнего уравнения выражаем
Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим
откуда
.
Подставив значения переменных
и
в первое уравнение, найдем
.
Ответ запишем в следующем виде
Решение
выполняем с помощью калькулятора . Выпишем расширенную и основную матрицы:
Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x 1 в правую часть уравнений.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.
Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.
Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.
Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3 .
Минор 
является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 2 , x 3 , x 4 , значит, неизвестные x 2 , x 3 , x 4 – зависимые, а x 1 , x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 2 , x 3 , x 4 через свободные x 1 и x 5 , то есть нашли общее решение:
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:
1) пусть x 1 = x 5 = 0, тогда x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) положим x 1 = 1, x 5 = -1, тогда x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.
Пример 2
. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы
Решение
. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.
Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:
Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:
Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:
Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
Пример 3
. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.
Решение
. Составляем расширенную матрицу системы.
Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:
Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r B > r A .
Задание
. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления .
Решение
Пример
. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса ; 2) методом Крамера . (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Ответ:
2,-1,3.
Пример
. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:
x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Задание
. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение.
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной .
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 ,x 3 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 ,x 3 – зависимые (базисные), а x 4 ,x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 ,x 5 , то есть нашли общее решение :
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
неопределенной , т.к. имеет более одного решения.
Задание
. Решить систему уравнений.
Ответ
:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной
Курсовая: Определители и системы линейных уравнений
1. Определители второго и третьего порядков и их свойства
1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка
Прямоугольную таблицу из чисел,
матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные
черточки, либо круглые скобки. Например:
1 7 9.2 1 7 9.2
28 20 18 28 20 18
6 11 2 -6 11 2
Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется
квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами .
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:
Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число,
и обозначаемое символом
Итак, по определению
Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют
элементами этого определителя.
Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго
порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его строк (или
соответственно его столбцов) были пропорциональны .
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из
пропорций /
эквивалентна равенству
А последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.
1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и
отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(коэффициенты ,
и свободные члены ,
считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел
Называется
решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место
и в данную систему
обращает оба уравнения (3.3) в тождества.
Умножая первое уравнение системы (3.3) на -
А второе - на -и
затем складывая полученные при этом равенства, получим
Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на -исоответственно получим:
Введем следующие обозначения:
С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка
уравнения (3.4) и (3.5) могут быть переписаны в виде:
Определитель ,
составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3.3), принято называть
определителем этой системы . Заметим, что определители
и получаются из
определителя системы
посредством замены его первого или соответственно второго столбца свободными
Могут представиться два случая: 1) определитель системы
отличен от нуля; 2) этот определитель равен нулю.
Рассмотрим сначала случай
0. Из уравнений (3.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных,
называемые формулами Крамера :
Полученные формулы Крамера (3.8) дают решение системы (3.7) и потому доказывают
единственность решения исходной системы (3.3). В самом деле, система (3.7)
является следствием системы (3.3), поэтому всякое решение системы (3.3) (в
случае, если оно существует!) должно являться решением и системы (3.7). Итак,
пока доказано, что если у исходной системы (3.3) существует при
0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (3.8).
Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том. что при
0 два числа и
Определяемые формулами Крамера (3.8). будучи поставлены на место неизвестных в
уравнения (3.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предоставляем читателю
самому расписать выражения для определителей
И убедиться в справедливости указанных тождеств.)
Мы приходим к следующему выводу: если определитель
системы (3.3) отличен от нуля, то существует, и притом единственное решение этой
системы, определяемое формулами Крамера (3.8).
Рассмотрим теперь случай, когда определитель
системы равен нулю . Могут представиться два подслучая : а) хотя
бы один из определителей
или , отличен от
нуля; б) оба определителя
и равны нулю. (если
определитель и
один из двух определителей
и равны нулю, то и
другой из указанных двух определителей равен нулю. В самом деле, пусть,
например = 0
Тогда из этих пропорций получим, что
В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (3.7), т. е.
система (3.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система
(3.3) (следствием которой является система (3.7)).
В подслучае б) исходная система (3.3) имеет бесчисленное множество решений. В
самом деле, из равенств
0 и из утверждения в конце разд. 1.1 заключаем, что второе уравнение системы
(3.3) является следствием первого и его можно отбросить. Но одно уравнение с
двумя неизвестными
имеет бесконечно много решений (хотя бы один из коэффициентов
Или отличен от
нуля, и стоящее при нем неизвестное может быть определено из уравнения (3.9)
через произвольно заданное значение другого неизвестного).
Таким образом, если определитель
системы (3.3) равен нулю, то система (3.3) либо вовсе не имеет решений (в
случае, если хотя бы один из определителей
или отличен от
нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда
0). В последнем
случае два уравнения (3.3) можно заменить одним и при решении его одно
неизвестное задавать произвольно.
Замечание . В случае, когда свободные члены
и равны нулю,
линейная система (3.3) называется однородной . Отметим, что однородная
система всегда имеет так называемое тривиальное решение:
0, = 0 (эти два
числа обращают оба однородных уравнения в тождества).
Если определитель однородной системы
отличен от нуля, то эта система имеет только тривиальное решение. Если же
= 0, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку
для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким
образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в
том случае, когда определитель ее равен нулю.
Решение систем линейных алгебраических уравненийявляется одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем, кроме того является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.
Системой линейных алгебраических уравнений называют систему уравнений вида: (1)
где – неизвестные; – свободные члены.
Решением системы уравнений (1) называют всякую совокупность чисел которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в верные числовые равенства.
Систему уравнений называют совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений.
Совместную систему уравнений называют определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет, по крайней мере, два различных решения.
Две системы уравнений называют равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.
Систему (1) называют однородной , если свободные члены равны нулю:
Однородная система всегда является совместной - она имеет решение (возможно, не единственное).
Если в системе (1) , то имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.
Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Если то система имеет единственное решение;
если то система не имеет решений;
если то система имеет бесконечное множество решений.
Пример. Система имеет единственное решение пару чисел
Система имеет бесконечное множество решений. Например, решениями данной системы являются пары чисел и т.д.
Система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.
Определение. Определителем второго порядка называют выражение вида:
Обозначают определитель символом D.
Числа а 11, …, а 22 называют элементами определителя.
Диагональ, образованную элементами а 11 ; а 22 называют главной, диагональ, образованную элементами а 12 ; а 21 − побочной.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
Пример. Вычислим определители:
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: где х 1, х 2 – неизвестные; а 11 , …, а 22 – коэффициенты при неизвестных, b 1 , b 2 – свободные члены.
Если система двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, то его можно найти с помощью определителей второго порядка.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называют определителем системы: D= .
В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х 1 и при , х 2 . Введем два дополнительных определителя, которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов: D 1 = D 2 = .
Теорема 14 (Крамера, для случая n=2). Если определитель D системы отличен от нуля (D¹0), то система имеет единственное решение, которое находят по формулам:
Данные формулы называют формулами Крамера.
Пример. Решим систему по правилу Крамера:
Решение. Найдем числа
Ответ.
Определение. Определителем третьего порядка называют выражение вида:
Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.
Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.
В запись с плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Слагаемые с минусом образуют по той же схеме относительно побочной диагонали.
Пример. Вычислим определители:
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.
В случае единственного решения систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить с помощью определителей 3-го порядка.
Определитель системы D имеет вид:
Введем три дополнительных определителя:
Теорема 15 (Крамера, для случая n=3). Если определитель D системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера:
Пример. Решим систему по правилу Крамера.
Решение. Найдем числа
Воспользуемся формулами Крамера и найдем решение исходной системы:
Ответ.
Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.
Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо.
Отметим только один случай. Если определитель системы равен нулю (D=0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет, то есть является несовместной.
Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.
Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными то единственное решение системы находят по формулам Крамера:
Дополнительный определитель получают из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном x i заменить столбцом свободных членов.
Заметим, что определители D, D 1 , … , D n имеют порядок n .
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных −метод Гаусса . Данный метод представляет собой обобщение метода подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.
Метод основан на некоторых преобразованиях системы линейных уравнений, в результате которых получается система, равносильная исходной системе. Алгоритм метода состоит из двух этапов.
Первый этап называют прямым ходом метода Гаусса. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений. Для этого на первом шаге делят первое уравнение системы на ( в противном случае осуществляют перестановку уравнений системы). Обозначают коэффициенты полученного приведенного уравнения, домножают его на коэффициент и вычитают из второго уравнения системы, исключая, тем самым, из второго уравнения (обнуляя коэффициент ).
Аналогично поступают с остальными уравнениями и получают новую систему, во всех уравнениях которой, начиная со второго коэффициенты при , содержатся только нули. Очевидно, что полученная при этом новая система, будет равносильна исходной системе.
Если новые коэффициенты, при , не все равны нулю, можнотаким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приводят систему к так называемому треугольному виду:
Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.
Из последнего уравнения системы единственным образом определяют , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.
Замечание. Иногда, в результате преобразований, в каком-либо из уравнений все коэффициенты и правая часть обращаются в ноль, то есть уравнение превращается в тождество 0=0. Исключив такое уравнение из системы, уменьшают число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.
Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены. , подставляя найденное
Решение. Применив к этой системе метод Гаусса, получим
Откуда Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.
Ответ. Система не имеет решений.
Заметим, что рассмотренный ранее метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений.
