În acest articol vom lua în considerare în detaliu pe un plan și în spațiul tridimensional. Să începem cu definiția dreptelor perpendiculare, să arătăm notația și să dăm exemple. După aceasta, prezentăm o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a două drepte și analizăm în detaliu soluțiile problemelor caracteristice.
Navigare în pagină.
Linii perpendiculare - informații de bază.
Exemplu.
Trei puncte sunt date în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy. Dreptele AB și AC sunt perpendiculare?
Soluţie.
Vectorii și sunt vectorii de direcție ai dreptelor AB și AC. Referindu-ne la articol, calculăm 
. Vectori și sunt perpendiculare, deoarece 
. Astfel, condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea dreptelor AB și AC este îndeplinită. Prin urmare, dreptele AB și AC sunt perpendiculare.
Răspuns:
Da, liniile drepte sunt perpendiculare.
Exemplu.
Sunt cei drepti și 
perpendicular?
Soluţie.
Vectorul de direcție este o linie dreaptă și este vectorul de direcție al unei linii drepte . Să calculăm produsul scalar al vectorilor și: 
. Este diferit de zero, prin urmare, vectorii de direcție ai liniilor nu sunt perpendiculari. Adică condiția de perpendicularitate a liniilor nu este îndeplinită, prin urmare, liniile originale nu sunt perpendiculare.
Răspuns:
Nu, liniile nu sunt perpendiculare.
De asemenea, condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea liniilor a și b în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul tridimensional are forma 
, Unde 
Și 
sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b.
Exemplu.
Sunt liniile definite în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul tridimensional perpendicular pe ecuații 
Și ?
Soluţie.
Numerele din numitorii ecuațiilor canonice ale unei linii din spațiu sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului de direcție al dreptei. Și coordonatele vectorului de direcție al dreptei, care este specificat de ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu, sunt coeficienții parametrului. Prin urmare, 
și sunt vectorii de direcție ai dreptelor date. Să aflăm dacă sunt perpendiculare: 
. Deoarece produsul scalar este zero, acești vectori sunt perpendiculari. Aceasta înseamnă că condiția de perpendicularitate a dreptelor date este îndeplinită.
Răspuns:
Liniile drepte sunt perpendiculare.
Pentru a verifica perpendicularitatea a două drepte într-un plan, există și alte condiții necesare și suficiente pentru perpendicularitate.
Teorema.
Pentru ca dreptele a și b să fie perpendiculare pe un plan, este necesar și suficient ca vectorul normal al dreptei a să fie perpendicular pe vectorul normal al dreptei b.
Condiția declarată de perpendicularitate a liniilor este convenabilă de utilizat dacă, folosind ecuațiile date de drepte, coordonatele vectorilor normali ai liniilor pot fi găsite cu ușurință. Această afirmație corespunde ecuației generale în linie dreaptă a formei 
, ecuația unei drepte în segmente și ecuația unei drepte cu coeficient de unghi.
Exemplu.
Asigurați-vă că este drept 
și perpendiculară.
Soluţie.
Având în vedere ecuațiile de linii, este ușor de găsit coordonatele vectorilor normali ai acestor drepte. – vector linie normală . Să rescriem ecuația sub forma 
, de unde sunt vizibile coordonatele vectorului normal al acestei linii: .
Vectorii și sunt perpendiculari, deoarece produsul lor scalar este egal cu zero: 
. Astfel, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea dreptelor date, adică sunt cu adevărat perpendiculare.
În special, dacă o dreaptă a pe un plan este determinată de o ecuație a unei drepte cu un coeficient unghiular de forma , și o dreaptă b de forma , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și , respectiv , iar condiția pentru perpendicularitatea acestor drepte se reduce la următoarea relație între coeficienții unghiulari.
Liniile perpendiculare apar în aproape orice problemă geometrică. Uneori, perpendicularitatea liniilor este cunoscută din condiție, iar în alte cazuri, perpendicularitatea liniilor trebuie dovedită. Pentru a demonstra perpendicularitatea a două drepte, este suficient să arăți, folosind orice metode geometrice, că unghiul dintre drepte este egal cu nouăzeci de grade.
Cum să răspund la întrebarea „dreptele sunt perpendiculare” dacă sunt cunoscute ecuațiile care definesc aceste drepte pe un plan sau în spațiul tridimensional?
Pentru a face acest lucru ar trebui să utilizați condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a două drepte. Să o formulăm sub forma unei teoreme.
Teorema.
AȘi b este necesar şi suficient ca vectorul direcţie să fie drept A a fost perpendiculară pe vectorul direcție al dreptei b.
Dovada acestei condiții pentru perpendicularitatea dreptelor se bazează pe definirea vectorului de direcție al dreptei și pe definirea dreptelor perpendiculare.
Să adăugăm detalii.
Să fie introdus în plan un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy iar ecuațiile unei drepte pe un plan de un anumit tip sunt date, definind dreptele AȘi b. Să notăm vectorii de direcție ai liniilor AȘi b ca si in consecinta. Prin ecuații de drepte AȘi b putem determina coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte - obținem și . Apoi, pentru perpendicularitatea liniilor AȘi b Este necesar și suficient ca condiția de perpendicularitate a vectorilor și să fie satisfăcută, adică pentru produsul scalar al vectorilor și să fie egal cu zero: 
.
Asa de, AȘi bîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyîn avion are forma , unde și sunt vectorii de direcție ai liniilor AȘi b respectiv.
Această condiție este convenabilă de utilizat atunci când coordonatele vectorilor de direcție ai liniilor drepte sunt ușor de găsit și, de asemenea, atunci când liniile drepte AȘi b corespund ecuațiilor canonice ale unei drepte pe un plan sau ecuațiilor parametrice ale unei drepte pe un plan.
Exemplu.
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy se acordă trei puncte. Liniile sunt perpendiculare? ABȘi AC?
Soluţie.
Vectorii și sunt vectorii de direcție ai liniilor ABȘi AC. Referindu-ne la coordonatele articolului unui vector bazat pe coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit, calculăm 
. Vectori și sunt perpendiculare, deoarece 
. Astfel, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea liniilor ABȘi AC. Prin urmare, drept ABȘi AC perpendicular.
Răspuns:
Da, liniile drepte sunt perpendiculare.
Exemplu.
Sunt cei drepti și 
perpendicular?
Soluţie.
Vectorul de direcție este o linie dreaptă și este vectorul de direcție al unei linii drepte . Să calculăm produsul scalar al vectorilor și: 
. Este diferit de zero, prin urmare, vectorii de direcție ai liniilor nu sunt perpendiculari. Adică condiția de perpendicularitate a liniilor nu este îndeplinită, prin urmare, liniile originale nu sunt perpendiculare.
Răspuns:
nu, liniile nu sunt perpendiculare.
De asemenea, condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea liniilor AȘi bîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyzîn spaţiul tridimensional are forma 
, Unde 
Și 
- vectorii de direcție ai liniilor drepte AȘi b respectiv.
Exemplu.
Sunt linii definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular perpendiculare? Oxyzîn spaţiul tridimensional prin ecuaţii 
Și ?
Soluţie.
Numerele din numitorii ecuațiilor canonice ale unei linii din spațiu sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului de direcție al dreptei. Și coordonatele vectorului de direcție al dreptei, care este specificat de ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu, sunt coeficienții parametrului. Prin urmare, 
și sunt vectorii de direcție ai dreptelor date. Să aflăm dacă sunt perpendiculare: 
. Deoarece produsul scalar este zero, acești vectori sunt perpendiculari. Aceasta înseamnă că condiția de perpendicularitate a dreptelor date este îndeplinită.
Răspuns:
liniile drepte sunt perpendiculare.
Pentru a verifica perpendicularitatea a două drepte într-un plan, există și alte condiții necesare și suficiente pentru perpendicularitate.
Teorema.
Pentru perpendicularitatea liniilor AȘi b pe plan este necesar și suficient ca vectorul normal să fie o dreaptă A a fost perpendicular pe vectorul normal al dreptei b.
Condiția declarată de perpendicularitate a liniilor este convenabilă de utilizat dacă, folosind ecuațiile date de drepte, coordonatele vectorilor normali ai liniilor pot fi găsite cu ușurință. Această afirmație corespunde ecuației generale în linie dreaptă a formei 
, ecuația unei drepte în segmente și ecuația unei drepte cu coeficient de unghi.
Exemplu.
Asigurați-vă că este drept 
și perpendiculară.
Soluţie.
Având în vedere ecuațiile de linii, este ușor de găsit coordonatele vectorilor normali ai acestor drepte. – vector linie normală . Să rescriem ecuația sub forma 
, de unde sunt vizibile coordonatele vectorului normal al acestei linii: .
Vectorii și sunt perpendiculari, deoarece produsul lor scalar este egal cu zero: 
. Astfel, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea dreptelor date, adică sunt cu adevărat perpendiculare.
În special, dacă este direct A pe plan determină ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular de forma , iar linia dreaptă b– de forma , atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și, respectiv, iar condiția de perpendicularitate a acestor drepte se reduce la următoarea relație între coeficienții unghiulari .
Exemplu.
Liniile și perpendiculare sunt?
Soluţie.
Panta unei drepte este egală cu , iar panta unei drepte este egală cu . Produsul coeficienților unghiulari este egal cu minus unu, prin urmare dreptele sunt perpendiculare.
Răspuns:
dreptele date sunt perpendiculare.
Mai poate fi formulată o condiție pentru perpendicularitatea dreptelor pe un plan.
Teorema.
Pentru perpendicularitatea liniilor AȘi b pe un plan este necesar și suficient ca vectorul direcție al unei linii și vectorul normal al celei de-a doua drepte să fie coliniari.
Această condiție este, evident, convenabilă de utilizat atunci când coordonatele vectorului de direcție al unei linii și coordonatele vectorului normal al celei de-a doua linii sunt ușor de găsit, adică atunci când o linie este dată de o ecuație canonică sau ecuații parametrice ale unei linii. pe un plan, iar al doilea fie printr-o ecuație generală a unei drepte, fie printr-o ecuație a unei linii în segmente, fie prin ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular.
Exemplu.
Sunt drepte și perpendiculare?
Soluţie.
Evident, este vectorul normal al dreptei și este vectorul de direcție al dreptei. Vectorii și nu sunt coliniari, deoarece pentru ei nu este îndeplinită condiția de coliniaritate a doi vectori (nu există un astfel de număr real t, la care). Prin urmare, liniile date nu sunt perpendiculare.
Răspuns:
liniile nu sunt perpendiculare.
21. Distanța de la un punct la o dreaptă.
Distanța de la un punct la o linie este determinată de distanța de la punct la punct. Să arătăm cum se face.
Să fie dată o dreaptă pe un plan sau într-un spațiu tridimensional Ași punct M 1, nu pe o linie dreaptă A. Să tragem prin punct M 1 direct b, perpendicular pe linie A. Să notăm punctul de intersecție al dreptelor AȘi b Cum H 1. Segment de linie M1H1 numit perpendicular, tras din punct M 1 la o linie dreaptă A.
Definiție.
Distanța de la punct M 1 la o linie dreaptă A numiți distanța dintre puncte M 1Și H 1.
Cu toate acestea, cea mai comună definiție a distanței de la un punct la o linie este lungimea perpendicularei.
Definiție.
Distanța de la punct la linie este lungimea perpendicularei trasate de la un punct dat la o dreaptă dată.
Această definiție este echivalentă cu prima definiție a distanței de la un punct la o linie.
Vă rugăm să rețineți că distanța de la un punct la o linie este cea mai mică dintre distanța de la acest punct la punctele unei linii date. Să o arătăm.
Să o luăm pe linie dreaptă A punct Q, care nu coincide cu punctul M 1. Segment de linie M 1 Q numit înclinat, tras din punct M 1 la o linie dreaptă A. Trebuie să arătăm că perpendiculara trasă din punct M 1 la o linie dreaptă A, mai mică decât orice pantă trasată din punct M 1 la o linie dreaptă A. Este adevărat: un triunghi M 1 QH 1 dreptunghiular cu ipotenuza M 1 Q, iar lungimea ipotenuzei este întotdeauna mai mare decât lungimea oricăruia dintre catete, prin urmare, 
.
22. Planul în spațiul R3. Ecuația unui plan.
Un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian poate fi dat de ecuația, 
Care e numit ecuație generală avion.
Definiție. Vectorul este perpendicular pe plan și se numește al său vector normal.
Dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt cunoscute coordonatele a trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă, atunci ecuația planului se scrie astfel: 
.
După ce am calculat acest determinant, obținem ecuația generală a planului.
Exemplu. Scrieți ecuația planului care trece prin puncte.
Soluţie:
Ecuația plană: .
23. Studiul ecuaţiei generale a planului.
Definiția 2. Orice vector perpendicular pe un plan se numește vector normal al acelui plan.
Dacă se cunoaşte un punct fix M 0 (X 0 , y 0 , z 0), situat într-un plan dat și vectorul perpendicular pe un plan dat, apoi ecuația planului care trece prin punctul M 0 (X 0 , y 0 , z 0), perpendicular pe vector, are forma
A(x-x 0)+B(a-y 0)+C(Z Z 0)= 0. (3.22)
Să arătăm că ecuația (3.22) este ecuația generală a planului (3.21). Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele și puneți termenul liber între paranteze:
.Ax + By+ Cz +(-Topor 0 -De-Cz 0)= 0
După ce a desemnat D = -Topor 0 -De-Cz 0, obținem ecuația Ax + By + Cz + D= 0.
Sarcina 1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctul A, perpendicular pe vector, dacă A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).
Soluţie. Să găsim vectorul normal al planului:
Pentru a găsi ecuația planului folosim ecuația (3.22):
Răspuns: -3X + 5y + 2z + 25 = 0.
Sarcina 2. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M 0 (-1, 2, -1), perpendicular pe ax OZ.
Soluţie. Ca vector normal al planului dorit, puteți lua orice vector situat pe axa OZ, de exemplu, , apoi ecuația planului
Răspuns: z + 1 = 0.
24. Distanța de la un punct la un plan.
Distanța de la un punct la un plan este determinată prin distanța de la un punct la un punct, dintre care unul este un punct dat, iar celălalt este proiecția unui punct dat pe un plan dat.
Fie dat un punct în spațiul tridimensional M 1 si avionul. Să tragem prin punct M 1 direct A, perpendicular pe plan. Să notăm punctul de intersecție al dreptei Ași avioane ca H 1. Segment de linie M1H1 numit perpendicular, a scăzut din punct M 1 la un avion și la un punct H 1 – baza perpendicularei.
Definiție.
este distanța de la un punct dat la baza unei perpendiculare trasate dintr-un punct dat la un plan dat.
Cea mai comună definiție a distanței de la un punct la un plan este următoarea.
Definiție.
Distanța de la punct la plan este lungimea perpendicularei trasate dintr-un punct dat pe un plan dat.
Trebuie remarcat faptul că distanța de la punct M 1 faţă de plan, definit în acest fel, este cea mai mică dintre distanţele de la un punct dat M 1în orice punct al avionului. Într-adevăr, lăsați punctul H 2 se află în plan și este diferit de punct H 1. Evident, un triunghi M2H1H2 este dreptunghiulară, în el M1H1– picior, și M1H2– ipotenuza, prin urmare, 
. Apropo, segmentul M1H2 numit înclinat, tras din punct M 1 la avion. Deci, o perpendiculară trasată dintr-un punct dat pe un plan dat este întotdeauna mai mică decât una înclinată trasată din același punct către un plan dat.
Dacă o dreaptă trece prin două puncte date ,
apoi ea ecuația scris sub forma : 
.
Definiție. Vectorul este numit ghiduri vector al unei drepte dacă este paralelă sau îi aparține.
Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin două puncte date 
.
Rezolvare: Folosim formula generală a unei drepte care trece prin două puncte date: - ecuația canonică a unei drepte care trece prin puncte și . Vectorul este un vector cu direcție dreaptă.
26. Poziția relativă a dreptelor în spațiul R3.
Să trecem la opțiuni pentru poziția relativă a două linii în spațiu.
În primul rând, două drepte pot coincide, adică au infinit de puncte comune (cel puțin două puncte comune).
În al doilea rând, două linii din spațiu se pot intersecta, adică au un punct comun. În acest caz, aceste două linii se află într-un anumit plan al spațiului tridimensional. Dacă două drepte se intersectează în spațiu, atunci ajungem la conceptul de unghi între liniile care se intersectează.
În al treilea rând, două linii în spațiu pot fi paralele. În acest caz, ele se află în același plan și nu au puncte comune. Vă recomandăm să studiați articolul linii paralele, paralelism de linii.
După ce am dat definiția dreptelor paralele în spațiu, ar trebui să vorbim despre vectorii de direcție ai unei drepte datorită importanței lor. Orice vector diferit de zero situat pe această linie sau pe o linie paralelă cu aceasta va fi numit vector de direcție al dreptei. Vectorul direcție al unei linii drepte este foarte des folosit la rezolvarea problemelor care implică o linie dreaptă în spațiu.
În cele din urmă, două linii din spațiul tridimensional se pot intersecta. Două drepte din spațiu se numesc înclinate dacă nu se află în același plan. Această aranjare reciprocă a două drepte în spațiu ne conduce la conceptul de unghi între linii drepte care se intersectează.
De o importanță practică deosebită este cazul când unghiul dintre liniile care se intersectează sau se încrucișează în spațiul tridimensional este egal cu nouăzeci de grade. Astfel de drepte se numesc perpendiculare (vezi articolul linii perpendiculare, perpendicularitatea dreptelor).
27. Poziția relativă a unei drepte și a unui plan în spațiul R3.
O linie dreaptă poate să se afle pe un plan dat, să fie paralelă cu un plan dat sau să o intersecteze într-un punct, vezi următoarele figuri.
Dacă , atunci aceasta înseamnă că . Și acest lucru este posibil numai atunci când linia dreaptă se află pe plan sau este paralelă cu acesta. Dacă o dreaptă se află pe un plan, atunci orice punct de pe linie este un punct pe plan și coordonatele oricărui punct de pe linie satisfac ecuația planului. Prin urmare, este suficient să verificați dacă punctul se află pe plan. Dacă , atunci punct 
- se află pe plan, ceea ce înseamnă că linia dreaptă în sine se află pe plan.
Dacă , a , atunci punctul de pe dreaptă nu se află pe plan, ceea ce înseamnă că linia este paralelă cu planul.
Teorema a fost demonstrată.
Definiția liniilor perpendiculare
Linii perpendiculare.
Fie a și b drepte care se intersectează în punctul A (fig. 1). Fiecare dintre aceste linii este împărțită de punctul A în două jumătăți de linii. Semiliniile unei linii formează patru unghiuri cu semiliniile altei linii. Fie alfa unul dintre aceste unghiuri. Apoi oricare dintre celelalte trei unghiuri va fi fie adiacent unghiului alfa, fie vertical unghiului alfa.
Rezultă că dacă unul dintre unghiuri este drept, atunci și celelalte unghiuri vor fi drepte.În acest caz, spunem că liniile se intersectează în unghi drept.
Definiție.
Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept (fig. 2).
Perpendicularitatea dreptelor este indicată prin semnul ⊥ Intrarea a ⊥ b arată: Linia a este perpendiculară pe dreapta b.
Teorema.
Prin fiecare punct al unei linii poți trage o linie perpendiculară pe acesta și doar una.
Dovada.
Fie a o dreaptă dată și A un punct dat pe ea. Să notăm cu ax una dintre semiliniile dreptei a cu punctul inițial A (fig. 3). Să lăsăm deoparte un unghi (a1b1) egal cu 90° față de semi-linia a1.
Atunci linia care conține raza b1 va fi perpendiculară pe dreapta a.
Să presupunem că există o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Să notăm cu c1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b2. Unghiurile (a1b1) și (a1c1), fiecare egal cu 90°, sunt așezate într-un semiplan de la semilinia a1. Dar de la semi-linia a1 într-un semiplan dat, poate fi trasat un singur unghi egal cu 90°. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.
Definiție.
O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată, care are unul dintre capete în punctul de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește baza perpendicularei.
În figura 4, o perpendiculară AB este trasată de la punctul A la dreapta a. Punctul B este baza perpendicularei.
Pentru a construi o perpendiculară, utilizați un pătrat de desen (Fig. 5).
Două drepte care se intersectează sunt numite perpendiculare (sau reciproc perpendiculare) dacă formează patru unghiuri drepte. Perpendicularitatea dreptelor AC și ВD se notează astfel: AC ⊥ ВD (a se citi: „Dreapta AC este perpendiculară pe dreapta ВD”).
Rețineți că două drepte perpendiculare pe a treia nu se intersectează (Fig. 6,a). De fapt, să luăm în considerare liniile drepte AA1 și BB1, perpendiculare pe dreapta PQ (Fig. 6, b). Să îndoim mental desenul de-a lungul liniei drepte PQ, astfel încât partea superioară a desenului să se suprapună pe cea inferioară. Deoarece unghiurile drepte 1 și 2 sunt egale, raza RA se va suprapune pe raza RA1. În mod similar, raza QB se va suprapune cu raza QB1. Prin urmare, dacă presupunem că liniile AA1 și BB1 se intersectează în punctul M, atunci acest punct se va suprapune cu un punct M1 situat și pe aceste drepte (Fig. 6, c), și obținem că două drepte trec prin punctele M și M1: AA1 și BB1. Dar acest lucru este imposibil. În consecință, presupunerea noastră este incorectă și, prin urmare, liniile AA1 și BB1 nu se intersectează. 
Construirea unghiurilor drepte pe sol
Pentru a construi unghiuri drepte pe sol, se folosesc dispozitive speciale, dintre care cel mai simplu este eker-ul. Eckerul este format din două bare situate în unghi drept și montate pe un trepied (Fig. 7). Cuiile sunt introduse în capetele barelor, astfel încât liniile drepte care trec prin ele să fie reciproc perpendiculare. Pentru a construi un unghi drept pe sol cu o latură dată OA, instalați un trepied cu un ecker, astfel încât firul de plumb să fie situat exact deasupra punctului O, iar direcția unei bare coincide cu direcția fasciculului OA. Combinarea acestor direcții se poate face folosind un stâlp așezat pe grindă. Apoi este trasată o linie dreaptă în direcția celuilalt bloc (OB drept în Figura 7). Rezultatul este un unghi drept AOB.
În geodezie, instrumente mai avansate, cum ar fi un teodolit, sunt folosite pentru a construi unghiuri drepte. 
Orizontal:
3
. Un segment de linie dreaptă care leagă un punct dintr-un cerc de centrul său. 6
. O declarație care nu necesită dovezi. 9
. Construcție, sistem de gândire. 10
. Vedere patrulater. 15
. Un segment de linie dreaptă care leagă două puncte dintr-o curbă. 16
. Măsura lungimii. 17
18
. Punctul de intersecție al diametrelor unui cerc. 19
. Funcția trigonometrică. 20
. Parte dintr-un cerc. 21
. O măsură străveche a lungimii.
Vertical:
1
. Un simbol al unui alfabet. 2
. Tip de paralelogram. 4
. O coardă care trece prin centrul unui cerc. 5
. Element geometric. 7
. O rază care împarte un unghi în jumătate. 8
. Simbol alfabet grecesc. 10
. Suma lungimilor laturilor unui triunghi. 11
. O propoziție auxiliară folosită pentru dovadă. 12
. Element triunghi dreptunghic. 13
. Una dintre minunatele linii ale triunghiului. 14
. Funcția trigonometrică.
Există o astfel de sarcină:
În Pădurea Fermecată erau 10 izvoare fermecate – numărul 1, 2, 3,... 10. Apa fiecărui izvor nu se distingea ca culoare, gust și miros de apa obișnuită, dar era o otravă puternică. Cel care a băut-o a fost condamnat - cu excepția cazului în care într-o oră după aceea a băut apă dintr-o sursă cu un număr mai mare (de exemplu, sursele 4-10 salvate de otrava sursei 3; otrava din a 10-a sursă nu a lăsat nicio șansă de a mântuirea). Primele 9 surse erau disponibile public, dar sursa 10 se afla în peștera lui Kashchei Nemuritorul și doar Kashchei avea acces la ea.
Și apoi, într-o zi, Ivan cel Nebun l-a provocat pe Kashchei la duel. Condițiile erau simple: fiecare aduce cu ei un pahar cu ceva lichid, adversarii schimbă pahare și își beau conținutul. Și apoi se descurcă cât pot de bine.
Kashchei a fost mulțumit. Desigur: îi va da lui Ivan otrava numărul 10 și nimic nu-l poate salva pe Ivan. Și el însuși va bea otrava dată de Ivan cu apă din izvorul al 10-lea - și va fi mântuit.
Încercați să dezvoltați un plan de duel pentru Ivan. Sarcina este să rămână în viață și să-l termin pe Kashchei.
Raspunsul 1.
Ucide-l pe Kashchei. Trebuie să i se dea nu otravă, ci apă curată. O va spăla cu otrava lui - și este condamnat.
Raspunsul 2.
Nu te sinucizi. Orice otravă, cu excepția numărului 1, poate fi, de asemenea, un antidot. Înainte de a veni la duel, trebuie să bei otravă de grad scăzut. Și apoi otrava numărul 10, primită de la Kashchei într-un duel, nu va ucide, ci va salva.
În general, ideea este banală. Nu este întotdeauna posibil să cântărim o acțiune în mod izolat. Aceeași acțiune poate fi atât o otravă, cât și un antidot. Multe depind de fundal. Nu voi spune totul, dar, fără îndoială, multe.
Și când auziți că cineva pe care îl cunoașteți a făcut așa și așa ceva urât, nu vă grăbiți să-i etichetați. Ești sigur că acestea sunt doar lucruri urâte? S-ar putea să arate așa? Sunteți sigur că cunoașteți fundalul acestor acțiuni?
Construirea unei drepte perpendiculare
Acum vom încerca să construim o dreaptă perpendiculară folosind o busolă. Pentru aceasta avem punctul O și dreapta a.
Prima imagine arată o linie dreaptă pe care se află punctul O, iar în a doua imagine acest punct nu se află pe linia dreaptă a.
Acum să ne uităm la aceste două opțiuni separat.
prima varianta
În primul rând, luăm o busolă, o plasăm în centrul punctului O și desenăm un cerc cu o rază arbitrară. Acum vedem că acest cerc intersectează linia a în două puncte. Fie acestea să fie punctele A și B.
În continuare, luăm și desenăm cercuri din punctele A și B. Raza acestor cercuri va fi AB, dar punctul C va fi punctul de intersecție al acestor cercuri. Dacă vă amintiți, la început am obținut punctele A și B când am desenat un cerc și am luat o rază arbitrară.
Ca rezultat, vedem că linia perpendiculară dorită trece prin punctele C și O.
Dovada
Pentru această demonstrație trebuie să desenăm segmentele AC și CB. Și vedem că triunghiurile rezultate sunt egale: Δ ACO = Δ BCO, aceasta rezultă din al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, adică se dovedește că AO = OB, AC = CB, iar CO este comun în construcție. Unghiurile rezultate ∠COA și ∠COB sunt egale și ambele au o magnitudine de 90°. De aici rezultă că linia CO este perpendiculară pe AB.
Din aceasta putem concluziona că unghiurile formate la intersecția a două drepte sunt perpendiculare dacă cel puțin una dintre ele este perpendiculară, ceea ce înseamnă că un astfel de unghi este egal cu 90 de grade și este drept.
a 2-a varianta
Acum să luăm în considerare opțiunea de a construi o dreaptă perpendiculară, unde un punct dat nu se află pe dreapta a.
În acest caz, folosind o busolă, desenăm din punctul O un cerc cu o astfel de rază încât acest cerc să intersecteze dreapta a. Și fie punctele A și B punctele de intersecție ale acestui cerc cu o dreaptă dată a.
În continuare, luăm aceeași rază, dar desenăm cercuri, al căror centru vor fi punctele A și B. Ne uităm la figură și vedem că avem punctul O1, care este și punctul de intersecție al cercurilor și se află într-un semiplan, dar diferit de cel în care se află punctul O.
Următorul lucru pe care îl vom face este să tragem o linie dreaptă prin punctele O și O1. Aceasta va fi linia dreaptă perpendiculară pe care o căutam.
Dovada
Să presupunem că punctul de intersecție al dreptelor OO1 și AB este punctul C. Atunci triunghiurile AOB și BO1A sunt egale conform celui de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor și AO = OB = AO1 = O1B, iar AB este comun în construcție. De aici rezultă că unghiurile OAC și O1AC sunt egale. Triunghiurile OAC și O1AC, urmând din primul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor AO este egal cu AO1, iar prin construcție, unghiurile OAC și O1AC sunt egale cu un AC comun. În consecință, unghiul OCA este egal cu unghiul O1CA, dar deoarece sunt adiacente, înseamnă că sunt drepte. Prin urmare, concluzionăm că OC este o perpendiculară care este coborâtă din punctul O la dreapta a.
Așa se face că, numai cu ajutorul unei busole și a unei rigle, puteți construi cu ușurință linii drepte perpendiculare. Și nu contează unde se află punctul prin care ar trebui să treacă perpendiculara, pe un segment sau în afara acestui segment, principalul lucru în aceste cazuri este să găsiți și să desemnați corect punctele inițiale A și B.
Întrebări:
- Ce drepte se numesc perpendiculare?
- Care este unghiul dintre liniile perpendiculare?
- Ce folosești pentru a construi drepte perpendiculare?
Articolul discută problema liniilor perpendiculare pe plan și spațiul tridimensional. Vom analiza în detaliu definiția dreptelor perpendiculare și denumirile acestora cu exemplele date. Să luăm în considerare condițiile de aplicare a condiției necesare și suficiente pentru perpendicularitatea a două drepte și să luăm în considerare în detaliu folosind un exemplu.
Unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu poate fi corect. Apoi ei spun că dreptele date sunt perpendiculare. Când unghiul dintre liniile care se intersectează este drept, atunci liniile sunt și perpendiculare. Rezultă că liniile perpendiculare de pe un plan se intersectează, iar liniile perpendiculare din spațiu se pot intersecta și se încrucișează.
Adică, conceptele „dreptele a și b sunt perpendiculare” și „dreptele b și a sunt perpendiculare” sunt considerate egale. De aici vine conceptul de linii reciproc perpendiculare. După ce am rezumat cele de mai sus, să ne uităm la definiție.
Definiția 1
Două drepte se numesc perpendiculare dacă unghiul la intersecția lor face 90 de grade.
Perpendicularitatea se notează cu „⊥”, iar notația ia forma a ⊥ b, ceea ce înseamnă că linia a este perpendiculară pe dreapta b.
De exemplu, laturile unui pătrat cu un vârf comun pot fi drepte perpendiculare pe un plan. În spațiul tridimensional, dreptele O x , O z , O y sunt perpendiculare în perechi: O x și O z , O x și O y , O y și O z .
Perpendicularitatea liniilor - condiții de perpendicularitate
Este necesar să se cunoască proprietățile perpendicularității, deoarece cele mai multe probleme se rezumă la verificarea acesteia pentru o soluție ulterioară. Sunt cazuri când se discută perpendicularitatea în condițiile sarcinii sau când este necesară utilizarea unei dovezi. Pentru a demonstra perpendicularitatea, este suficient ca unghiul dintre drepte să fie drept.
Pentru a determina perpendicularitatea lor cu ecuațiile cunoscute ale sistemului de coordonate dreptunghiulare este necesară aplicarea condiției necesare și suficiente pentru perpendicularitatea dreptelor. Să ne uităm la formulare.
Teorema 1
Pentru ca dreptele a și b să fie perpendiculare, este necesar și suficient ca vectorul de direcție al dreptei să fie perpendicular pe vectorul de direcție al dreptei date b.
Dovada în sine se bazează pe determinarea vectorului de direcție al unei drepte și pe determinarea perpendicularității dreptelor.
Dovada 1
Să fie introdus un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare O x y cu ecuații date ale unei drepte pe planul care definesc dreptele a și b. Notăm vectorii de direcție ai dreptelor a și b ca a → și b → . Din ecuația dreptelor a și b, o condiție necesară și suficientă este perpendicularitatea vectorilor a → și b →. Acest lucru este posibil numai atunci când produsul scalar al vectorilor a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) este egal cu zero, iar intrarea are forma a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Obținem că condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea dreptelor a și b, situate în sistemul de coordonate dreptunghiular O x y pe plan, este a →, b → = a x · b x + a y · b y = 0, unde a → = (a x, a y) și b → = b x, b y sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b.
Condiția este aplicabilă atunci când este necesar să se găsească coordonatele vectorilor de direcție sau în prezența ecuațiilor canonice sau parametrice ale dreptelor pe planul dreptelor date a și b.
Exemplul 1
Trei puncte A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) sunt date în sistemul de coordonate dreptunghiular O x y. Stabiliți dacă dreptele A B și A C sunt perpendiculare sau nu.
Soluţie
Liniile directe A B și A C au vectori de direcție A B → și respectiv A C →. Mai întâi, să calculăm A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Obținem că vectorii A B → și A C → sunt perpendiculari de proprietatea produsului scalar al vectorilor egal cu zero.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Este evident că condiția necesară și suficientă este îndeplinită, ceea ce înseamnă că A B și A C sunt perpendiculare.
Răspuns: liniile drepte sunt perpendiculare.
Exemplul 2
Stabiliți dacă dreptele date x - 1 2 = y - 7 3 și x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ sunt perpendiculare sau nu.
Soluţie
a → = (2, 3) este vectorul de direcție al dreptei date x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1, - 2) este vectorul de direcție al dreptei x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ.
Să trecem la calcularea produsului scalar al vectorilor a → și b →. Expresia se va scrie:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Rezultatul produsului nu este egal cu zero, putem concluziona că vectorii nu sunt perpendiculari, ceea ce înseamnă că nici liniile nu sunt perpendiculare.
Răspuns: liniile nu sunt perpendiculare.
Condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea dreptelor a și b se aplică spațiului tridimensional, scris ca a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , unde a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) sunt vectorii de direcție ai dreptelor a și b.
Exemplul 3
Verificați perpendicularitatea dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, dat de ecuațiile x 2 = y - 1 = z + 1 0 și x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ
Soluţie
Numitorii din ecuațiile canonice ale dreptelor sunt considerați coordonatele vectorului de direcție al dreptei. Coordonatele vectorului de direcție din ecuația parametrică sunt coeficienți. Rezultă că a → = (2, - 1, 0) și b → = (1, 2, 4) sunt vectori de direcție ai dreptelor date. Pentru a le identifica perpendicularitatea, să găsim produsul scalar al vectorilor.
Expresia va lua forma a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .
Vectorii sunt perpendiculari deoarece produsul este zero. Condiția necesară și suficientă este îndeplinită, ceea ce înseamnă că liniile sunt și ele perpendiculare.
Răspuns: liniile drepte sunt perpendiculare.
Verificarea perpendicularității poate fi efectuată pe baza altor condiții necesare și suficiente de perpendicularitate.
Teorema 2
Liniile a și b pe un plan sunt considerate perpendiculare atunci când vectorul normal al dreptei a este perpendicular pe vectorul b, aceasta este o condiție necesară și suficientă.
Dovada 2
Această condiție este aplicabilă atunci când ecuațiile de linii oferă o modalitate rapidă de a găsi coordonatele vectorilor normali ai liniilor date. Adică, dacă există o ecuație generală a unei linii de forma A x + B y + C = 0, o ecuație a unei linii în segmente de forma x a + y b = 1, o ecuație a unei linii cu un coeficient unghiular de forma y = k x + b, se pot afla coordonatele vectorilor.
Exemplul 4
Aflați dacă dreptele 3 x - y + 2 = 0 și x 3 2 + y 1 2 = 1 sunt perpendiculare.
Soluţie
Pe baza ecuațiilor lor, este necesar să se găsească coordonatele vectorilor normali ai liniilor. Obținem că n α → = (3, - 1) este vectorul normal pentru dreapta 3 x - y + 2 = 0.
Să simplificăm ecuația x 3 2 + y 1 2 = 1 la forma 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Acum sunt vizibile clar coordonatele vectorului normal, pe care le scriem sub această formă n b → = 2 3 , 2 .
Vectorii n a → = (3, - 1) și n b → = 2 3, 2 vor fi perpendiculari, deoarece produsul lor scalar va da în cele din urmă o valoare egală cu 0. Se obține n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .
Condiția necesară și suficientă a fost îndeplinită.
Răspuns: liniile drepte sunt perpendiculare.
Când o dreaptă a pe un plan este definită folosind o ecuație cu o pantă y = k 1 x + b 1 și o dreaptă b - y = k 2 x + b 2, rezultă că vectorii normali vor avea coordonate (k 1 , - 1) și (k 2 , - 1) . Condiția de perpendicularitate în sine se reduce la k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1.
Exemplul 5
Aflați dacă dreptele y = - 3 7 x și y = 7 3 x - 1 2 sunt perpendiculare.
Soluţie
Linia dreaptă y = - 3 7 x are o pantă egală cu - 3 7, iar dreapta y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.
Produsul coeficienților unghiulari dă valoarea - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, adică dreptele sunt perpendiculare.
Răspuns: dreptele date sunt perpendiculare.
Mai există o condiție folosită pentru a determina perpendicularitatea dreptelor pe un plan.
Teorema 3
Pentru ca dreptele a și b să fie perpendiculare pe un plan, o condiție necesară și suficientă este ca vectorul de direcție al uneia dintre drepte să fie coliniar cu vectorul normal al celei de-a doua drepte.
Dovada 3
Condiția este aplicabilă atunci când este posibil să se găsească vectorul direcție al unei linii drepte și coordonatele vectorului normal al alteia. Cu alte cuvinte, o dreaptă este dată de o ecuație canonică sau parametrică, iar cealaltă de o ecuație generală a unei linii, o ecuație în segmente sau o ecuație a unei linii cu un coeficient unghiular.
Exemplul 6
Determinați dacă dreptele date x - y - 1 = 0 și x 0 = y - 4 2 sunt perpendiculare.
Soluţie
Constatăm că vectorul normal al dreptei x - y - 1 = 0 are coordonatele n a → = (1, - 1), iar b → = (0, 2) este vectorul de direcție al dreptei x 0 = y - 4 2.
Aceasta arată că vectorii n a → = (1, - 1) și b → = (0, 2) nu sunt coliniari, deoarece condiția de coliniaritate nu este îndeplinită. Nu există un număr t astfel încât egalitatea n a → = t · b → să fie valabilă. De aici concluzia că dreptele nu sunt perpendiculare.
Răspuns: liniile nu sunt perpendiculare.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
O linie dreaptă (segment de linie dreaptă) este notă cu două litere mari ale alfabetului latin sau o literă mică. Punctul este indicat doar printr-o literă latină majusculă.
Liniile nu se pot intersecta, intersecta sau coincide. Liniile care se intersectează au un singur punct comun, liniile care nu se intersectează nu au punct comun, iar liniile care coincid au toate punctele comune.
Definiție. Două drepte care se intersectează în unghi drept se numesc perpendiculare. Perpendicularitatea dreptelor (sau a segmentelor acestora) este indicată prin semnul de perpendicularitate „⊥”.
De exemplu:
Ta ABȘi CD(Fig. 1) se intersectează în punct DESPREși ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BOD= 90°, atunci AB ⊥ CD.
Dacă AB ⊥ CD(Fig. 2) și se intersectează în punct ÎN, apoi ∠ ABC = ∠ABD= 90°
Proprietățile dreptelor perpendiculare
1. Printr-un punct A(Fig. 3) se poate trasa o singură linie dreaptă perpendiculară AB la o linie dreaptă CD; liniile rămase care trec prin punct A si traversare CD, se numesc drepte înclinate (Fig. 3, drepte AEȘi AF).
2. De la un punct A puteți coborî perpendiculara pe o linie dreaptă CD; lungime perpendiculară (lungimea segmentului AB) trase din punct A direct CD, este cea mai scurtă distanță de la A inainte de CD(Fig. 3).
