Funcția de transfer a unei legături în cazul general este raportul a două polinoame:
Un polinom de ordin arbitrar poate fi factorizat în factori primi k 1 p; (d 1 p+ d 2 ); (d 1 p 2 + d 2 p+ d 3 ), prin urmare funcția de transfer poate fi reprezentată ca un produs al factorilor simpli sau al fracțiilor simple de forma:
;
;
.
Se numesc legăturile ale căror funcții de transfer sunt sub formă de factori simpli sau fracții simple tipic sau elementar link-uri. Factorii elementari, care sunt polinoame de ordinul întâi și al doilea, sunt transformați în forma standard adoptată în teoria controlului automat:
;
,
k (k 0) - coeficient de transmisie,
T (T 0) - timpul constant(are dimensiunea unei unități de timp),
- coeficient de amortizare.
Principalele tipuri de legături sunt împărțite în: poziționale, diferențiatoare și integratoare.
Pozițional hVenyami se numesc astfel de legături, în funcție de transfer ale căror polinoame M(p) Și N(R) au membri liberi.
U diferenţierea link-uri nu există un termen liber în numărător în funcția de transfer, adică. pentru legăturile de diferențiere unice, funcția de transfer are forma:
, Unde M 1
(p) - membru gratuit.
U integrarea link-uri nu există un numitor liber în funcția de transfer, adică:
.
1. Legatura aperiodica
.
Formularul standard pentru scrierea ecuației de legătură: 
A
A)
b) Figura 13. Scheme de implementare legatura aperiodica
Sub formă de operator, tensiunea și curentul de ieșire pentru circuit ( orez. 13,A ) sunt, respectiv, egale:
Și 
.
Figura 14. Caracteristici
link aperiodic de prim ordin
Funcția de transmisie link aperiodic:
În general Funcția de transmisie linkul aperiodic are forma:
Unde: k
= 1, T
= R.C..
Funcția de tranziție link aperiodic ( orez. 14,a):
.
Funcția de greutate link aperiodic ( orez. 14, b):
Dacă caracteristicile acestor funcții sunt obținute experimental, ele pot fi utilizate pentru determinarea valorilor TȘi kși obțineți ecuația de legătură. In spate durata procesului de tranziție luați timpul în care valoarea de ieșire atinge 95% din valoarea sa finală.
Răspuns în frecvență amplitudine-fază(AFFC) a legăturii aperiodice ( orez. 14,v):
Unde: 
,
.
Această caracteristică este un semicerc cu o rază k/2 și centru cu coordonatele ( k/2; j= 0) pe axa reală.
Amplitudine-frecventa(AFC) a legăturii aperiodice:
Răspunsul în frecvență de fază(PFC) a legăturii aperiodice:
Răspuns în frecvență cu amplitudine logaritmică(LAFC) a legăturii aperiodice ( orez. 14,g):
Aproximativ LFC poate fi înlocuit cu două asimptote la care tinde când → 0 și → . LFC aproximativ este numit asimptotic .
Ambele asimptote se intersectează în punctul corespunzător = 1/T. Această frecvență se numește conjugarea.
Pe răspunsul în frecvență de fază (PFC) la → valoare φ variază de la 0 la minus π/2.
2. Legătură oscilativă
.
Ecuația legăturii oscilatorii are forma: 
.
Figura 15. Diagrama de implementare
legătură oscilativă
Este o conexiune serială RLC elemente ( orez. 15).
Sub formă de operator, tensiunea la ieșirea legăturii oscilatorii este:
, Unde: 
,
.
Se obișnuiește să se desemneze T 0 = T,T 1 = 2ξT, Apoi Funcția de transmisie legătura oscilativă are forma:
Coeficient ξ (zeta) se numește coeficient amortizare(atenuare). Daca 0< ξ < 1, звено называется oscilatoare; Dacă ξ = 0 (T 1 = 0), legătura este numită conservator, Dacă ξ ≥ 1 - legatura aperiodica a secundului Ordin.
A
Figura 16. Caracteristici legătură oscilativă
În general răspuns în frecvență amplitudine-fază link-uri ( orez. 16,a):
Unde k = 1.
Înmulțind numărătorul și numitorul cu expresia complexă conjugată a numitorului, obținem:
De aici, caracteristicile de frecvență reale și imaginare ale legăturii oscilatorii:
Și 
Răspuns amplitudine-frecvență legătură oscilativă (AFC):
Răspuns logaritmic amplitudine-frecvență(LACHH) a legăturii oscilatorii:
La frecvențe joase ω<1/Т
= ω
Cuîn exprimare 
poate fi neglijat T 2
ω
2
, și la valorile frecvenței ω>1/Tîn exprimare 
putem neglija unitatea și termenul ( 2ξТω) 2 . Apoi ecuația LFC asimptotic legătura oscilativă poate fi scrisă:
LFC asimptotic ( orez. 16, b) la ω<1/Т = ω Cu (ω Cu- frecvența conjugată) este paralelă cu axa frecvenței și când ω ≥ 1/T are o pantă de minus 40 dB/deceniu. La valori de 0,5<ξ<1 характеристика близка к ломанной линии, если ξ<0,5, то получается заметный «горб», который уходит в бесконечность при ξ → 0. Роль постоянных времени T 0 Și T 1 în ecuaţia verigii oscilatorii este următorul: constantă T 0 - vibrații „leagăne” și T 1 - le amortizează.
Răspunsul în frecvență de fază(FCHH) ( orez. 16, b) variază monoton în intervalul de la 0 la - :
Funcția de tranziție a legăturii oscilatorii (orez. 16,v) la condițiile inițiale zero:
,
Unde: 
;
;
.
La 
Răspunsul tranzitoriu este un grafic al oscilațiilor armonice.
Funcția de greutate a legăturii oscilatorii:
Toate elementele sistemului, indiferent de designul și scopul lor, în funcție de proprietățile lor dinamice, pot fi împărțite într-un număr limitat de elemente dinamice tipice. O legătură dinamică tipică este înțeleasă ca un element al unui sistem de acțiune direcțională, descris în dinamică printr-o ecuație diferențială de ordinul doi sau printr-o ecuație algebrică. Legăturile sunt clasificate în funcție de tipul de ecuație dinamică.
Toate legăturile pot fi împărțite în două tipuri: fază minimă și fază non-minimă.
O legătură este fază non-minimă dacă funcția sa de transfer are zerouri sau poli pozitivi pentru astfel de legături, caracteristica de fază nu corespunde ecuației diferențiale. Pentru legăturile de fază minimă, caracteristica fază-frecvență este determinată în mod unic de caracteristica amplitudine-frecvență.
Legăturile dinamice pot fi stabile dacă, după aplicarea și eliminarea unui impact, variabila sa de ieșire tinde către valoarea înainte de aplicarea impactului (adică, revine la starea inițială); neutru (astatic), dacă sub acțiune în trepte variabila de ieșire se modifică la o viteză constantă (astatism de ordinul întâi) sau accelerație constantă (astatism de ordinul doi); iar după aplicarea și îndepărtarea influenței revine la o nouă stare stabilă; instabil dacă variabila de ieșire, după aplicarea și eliminarea unei perturbări, se modifică fără a ajunge la o stare stabilă.
Să luăm în considerare legăturile minime de fază. Pe baza tipului de ecuații dinamice, acestea pot fi clasificate după cum urmează.
Cele mai simple verigi: a) lipsite de inertie (intaritoare, proportionale); b) ideal-integrator, ideal-diferenţiator;
Legături de ordinul întâi: a) legătură inerțială de ordinul întâi (aperiodic); b) legătura de forțare; c) o verigă diferenţiatoare reală de ordinul întâi; d) integro-diferențiere (inerțial-forțare) de ordinul întâi.
Legături de ordinul doi: a) legături de ordinul doi aperiodice (inerțiale); b) oscilatoare; c) conservatoare.
Legături speciale: legături întârziate și legături iraționale.
Să luăm în considerare legăturile tipice, ecuațiile lor de dinamică, funcțiile de transfer și caracteristicile.
§1. Cele mai simple link-uri.
1) Legătură fără inerție.
Semnalul de ieșire al acestei legături este similar ca formă cu semnalul de intrare. Ecuație dinamică
K - coeficient de proporționalitate, care poate fi determinat din caracteristica statică
Ecuația de legătură în imagini
și funcția de transfer
Obținem acest lucru prin înlocuirea operatorului Laplace p în expresia funcției de transfer cu operatorul Fourier jш.
(reacție la semnalul de pas)
Figura 3.1
Reacția la impuls
Legătura este stabilă.
Obținem răspunsul AFC prin schimbarea frecvenței de la zero la infinit. Din expresia W(jш) este clar că câștigul complex nu depinde de frecvență și nu va exista nicio deplasare a vectorului W(jш). Astfel, AFC-ul acestei legături este un punct pe axa reală, distanțat la o distanță K de la originea coordonatelor.
Figura 3.2
Amplitudinea logaritmică și caracteristicile frecvenței de fază:
Astfel, LFC va trece paralel cu axa frecvenței la o distanță de aceasta (20 Lg K) determinată de coeficientul de transmisie, defazajul în întregul interval de frecvență este zero.
Figura 3.3
Exemple de legături fără inerție: transmisie cu angrenaje, transmisie cu pârghie, divizor de tensiune, amplificator.
2) Legătură ideală de integrare.
Semnalul de ieșire al acestei legături este egal cu integrala semnalului de intrare, ecuația dinamică are următoarea formă:
Unde este timpul de integrare.
Funcția de transfer de legături
Să trecem la expresia coeficientului de transmisie complex:
Caracteristici de sincronizare:
a) funcţia şi caracteristica de tranziţie
Figura 3.4
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls
Figura 3.5
Din răspunsul tranzitoriu la impuls este clar că legătura este astatică (astatism de ordinul întâi, după ce perturbarea este eliminată, variabila de ieșire ajunge la o nouă valoare de stare staționară).
Caracteristicile frecvenței.
Răspuns în frecvență amplitudine-fază
reprezintă un segment negativ al semiaxei imaginare.
Figura 3.6
Caracteristicile frecvenței logaritmice.
LFC este determinat de expresie
și este o dreaptă cu pantă negativă. Când u=1, punctul de intersecție cu axa lg corespunde ecuației
20lgK - 20lg = 0, lg = lg K, adică. = K.
Prin urmare, se poate construi calculând valoarea L(= 1) = 20lgK și prin acest punct se trasează o dreaptă cu o pantă de -20 dB/dec, sau prin punctul lg=lgK.
Figura 3.7
Ecuația caracteristică a fazei, adică defazatul este constant și nu depinde de frecvență, iar caracteristica de răspuns la fază este paralelă cu axa frecvenței.
Panta LFC de -20 dB/dec înseamnă că, cu o creștere a frecvenței de 10 ori (1 deceniu), mărimea caracteristicii de amplitudine scade cu 20 dB (de 10 ori).
Exemple de link-uri:
3) Legătură de diferențiere ideală.
Semnalul de ieșire al acestei legături este proporțional cu rata de schimbare a semnalului de intrare și ecuația legăturii
Ecuația în imagini
Funcția de transfer de legături
Coeficient de transmisie complex
Caracteristici de sincronizare
a) funcţia şi caracteristica de tranziţie
Figura 3.9
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls
Două impulsuri de polaritate opusă.
Caracteristicile frecvenței.
AFC este construit conform expresiei și reprezintă un segment pozitiv al axei imaginare. .
Figura 3.10
Caracteristici logaritmice
LFC este construit conform expresiei și este o linie dreaptă cu un coeficient unghiular pozitiv care intersectează axa log în punctul respectiv;
La frecventa u=1 L(u) = 20lgK.
Astfel, LACHX poate fi construit calculând punctul și punându-l pe axa log și trasând o dreaptă cu o pantă de +20 dB/dec sau prin punctul (la φ = 1) 20 log K cu aceeași pantă.
Figura 3.11
pantă +20dB/dec înseamnă că, cu o creștere a frecvenței de 10 ori, mărimea caracteristicii de amplitudine crește cu 20dB (de 10 ori).
Ecuația caracteristică a fazei - i.e. defazatul nu depinde de frecvență și răspunsul de fază este paralel cu axa logului prin marcajul +90°.
§2. Link-uri pentru prima comandă.
Legătură aperiodică (inerțială) de ordinul întâi.
Această legătură în dinamică este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul întâi.
unde T este constanta de timp care caracterizează proprietățile inerțiale ale legăturii;
K - coeficient de proporţionalitate, caracterizează etatismul legăturii (coeficientul de statism).
Să scriem ecuația în imagini
Funcția de transmisie;
Înlocuind p cu jш trecem la coeficientul de transmisie complex
Caracteristicile temporale ale legăturii
a) Funcția și caracteristica de tranziție
Ecuația exponentului;
Rădăcina ecuației caracteristice > Tp +1 = 0
Figura 3.13
Conform ecuației răspunsului tranzitoriu h(t=T)=0,63K, i.e. într-un timp egal cu o constantă de timp, variabila de ieșire atinge 0,63 din valoarea staționară h(?).
h(t=3T) = 0,95 h(a); h(t=4T) = 0,98 h(a), adică Procesul de tranziție pentru un timp egal cu 4T poate fi considerat finalizat (tper=(3h4)T).
Constanta de timp poate fi determinată din graficul h(t) (așa cum se arată în figură) folosind proprietatea exponențialului - proiecția sub tangentă pe linia valorii constante este egală cu constanta de timp sau prin determinarea timpului. timp în care h(t) atinge valoarea de 0,63 h(?).
Figura 3.14
În conformitate cu tipul de caracteristici temporare, legătura este stabilă.
Caracteristicile frecvenței.
Răspunsul în frecvență amplitudine-fază este construit în funcție de expresia când frecvența se modifică 0< щ < ?. АФЧХ этого звена согласно уравнению, представляет собой полуокружность диаметром K, расположенную в четвертом квадранте.
Figura 3.15
Pe măsură ce frecvența crește, vectorul W(jш) se deplasează în sensul acelor de ceasornic și defazarea se schimbă de la zero la -90є.
Caracteristici logaritmice.
De obicei, se construiesc LFC-uri asimptotice, care sunt linii întrerupte și sunt foarte ușor de calculat. La frecvențe joase, al doilea termen din expresia (*) este foarte mic și poate fi ignorat la frecvențe joase, al doilea termen dă valoarea 10lg2 = 3,01, iar pe măsură ce frecvența crește, contribuția acestuia crește.
Prin urmare, LFC asimptotic este construit după cum urmează:
pentru frecvență conform ecuației - o linie dreaptă este paralelă cu axa frecvenței;
pentru o linie înclinată cu o pantă de -20 dB/dec. Eroarea la frecvență este de 3dB, adică L(u) exact la această frecvență este cu 3 dB mai mic (indicat de linia punctată).
Figura 3.16
Caracteristica fazei
Exemple de link-uri:
O ecuație diferențială de ordinul întâi descrie procesele tranzitorii într-un amplificator magnetic (amplificator inerțial), procesele termice, procesele de dizolvare și precipitare și alte procese tehnologice.
Legăturile rămase de ordinul întâi pot fi considerate ca conexiuni ale celor mai simple legături și o legătură aperiodică sau ca o legătură a celor mai simple legături.
Forțarea legăturii.
Figura 3.19
K1 - coeficient dimensional (sec.), K2 - adimensional.
acestea. semnalul de ieșire este proporțional cu semnalul de intrare și cu rata de schimbare a acestuia.
Coeficient de transmisie complex
Caracteristicile temporale ale legăturii
a) funcţia şi caracteristica de tranziţie
Figura 3.20
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls
Figura 3.21
Legătură stabilă
Caracteristicile frecvenței
Răspunsul în frecvență amplitudine-fază este construit folosind expresia
la schimbarea frecvenței 0< щ < ? и представляет собой вертикальную прямую отстоящую от начала коорлинат на величину K.
Figura 3.22
Răspuns logaritmic amplitudine-frecvență >
LFC asimptotic este o linie întreruptă, în prima secțiune până la - o linie dreaptă paralelă cu axa frecvenței și distanțată de aceasta la o distanță de 20lgK, la frecvență are loc o pauză și apoi caracteristica trece cu o pantă de + 20 dB/dec.
Figura 3.23
Legătură reală de diferențiere
Această legătură poate fi considerată ca o conexiune în serie a unei legături de diferențiere ideală și a unei legături aperiodice de ordinul întâi, sau ca o conexiune anti-paralelă a unei legături fără inerție și integratoare ideală.
Legă ecuație diferențială
Ecuație în imagini și funcție de transfer
Coeficient de transmisie complex
Caracteristicile de timp ale legăturii
a) funcţia şi caracteristica de tranziţie
acestea. este similară cu funcția de greutate a unei legături aperiodice de ordinul întâi.
Figura 3.26
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls.
Figura 3.27
Caracteristicile frecvenței.
Răspunsul în frecvență amplitudine-fază la 0< щ < ?, представляет собой полуокружность диаметром в первом квадранте.
Figura 3.28
Caracteristica amplitudine-frecvență asimptotică logaritmică este o linie întreruptă, până la - o pantă de +20 dB/dec, apoi o linie dreaptă paralelă cu axa frecvenței.
și poate fi obținută ca suma LFC a două legături aperiodice și diferențiate ideal conectate în serie.
Figura 3.29
Legătură de forțare inerțială (integrată-diferențiere).
Poate fi obținută ca o conexiune în serie a unui element aperiodic de ordinul întâi și a unui element de forțare sau o conexiune spate în spate a unui amplificator și a unui element aperiodic de ordinul întâi.
Legă ecuație diferențială:
Ecuație în imagini și funcție de transfer
Coeficient de transmisie complex
Proprietățile acestei legături depind de raportul constantelor de timp, dacă< 1 то звено по своим свойствам приближается к инерционному звену, а если >1 - la diferențiere.
Caracteristicile temporale ale legăturii.
a) funcția și caracteristicile de tranziție.
Figura 3.34
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls.
Figura 3.35
Caracteristicile de frecvență ale legăturii.
Caracteristica frecvenței amplitudine-fază este construită în funcție de expresia când frecvența se schimbă de la zero la infinit, iar forma sa depinde și de raport.
Figura 3.36
Caracteristicile logaritmice, amplitudinea asimptotică, reprezintă, de asemenea, linii întrerupte și depind de coeficientul b.
Figura 3.37
Legături de fază non-minimale
O legătură este o legătură de fază non-minimă dacă schimbarea de fază la 0< щ < ? превышает максимально возможное значение для данного типа уравнения динамики.
O legătură este fază non-minimă dacă W(p) are un zero sau pol pozitiv (rădăcina polinomului numărătorului sau numitorului). Același răspuns în frecvență al unei legături poate corespunde unor răspunsuri de fază diferite.
Legătură inerțială stabilă fără fază minimă de ordinul întâi
Ecuația:
avem zero pozitiv
Rădăcina este un număr pozitiv.
la 0< щ < ?, ц(щ) меняется от 0 до -180є.
Caracteristici temporale.
la T2 > T1
Figura 3.38
Caracteristici de frecvență: AFC T2 > T1
Figura 3.39
LACHH - - ecuația este aceeași cu cea a legăturii de impuls inerțial.
Figura 3.40
Legătură de fază non-minimă instabilă aperiodic.
Ecuația:
Începeți în al treilea cadran.
Figura 3.41
LACCH - - ca într-un stabil aperiodic.
Figura 3.42
Legătură instabilă de fază non-minimă de ordinul doi.
Ecuația:
Caracteristici de frecvență – oscilații divergente.
Figura 3.43
LACHH - ecuația este ca cea a unei legături oscilatorii.
Figura 3.44
O< 0,3 - использовать номограммы поправок.
Legăturile de fază non-minimale includ:
Instabil
Instabil
Durabil
si altii.
Legătură specială (de asemenea, fază non-minimă)
Link de întârziere (întârziere pură)
Ecuația:
Nu depinde de
c(u) se modifică de la 0 la -?
Caracteristici temporale. Legătura repetă semnalul de intrare fără distorsiuni, dar cu o schimbare de timp:
Figura 3.45
Caracteristici de frecventa:
AFFC - cerc al primei raze.
Figura 3.46
LACCH - - coincide cu axa frecvenței, iar c(u) - de la 0 la -?.
Figura 3.47
Exemple de legături: dispozitive de citire și scriere a informațiilor, linii electrice lungi, conducte hidraulice, linii de transport.
În sistemele servo (Fig. 1.14, a), când arborele de antrenare este rotit printr-un anumit unghi, arborele de primire se rotește și el prin același unghi. Cu toate acestea, arborele de primire nu ocupă o nouă poziție instantaneu, ci cu o oarecare întârziere după încheierea procesului de tranziție. Procesul de tranziție poate fi aperiodic (Fig. 2.1, a) și oscilator cu oscilații amortizate (Fig. 2.1, b). Este posibil ca oscilațiile arborelui receptor să fie neamortizate (Fig. 2.1, c) sau crescând în amplitudine (Fig. 2.1, d). Ultimele două moduri sunt instabile.
Cum un anumit sistem va procesa această sau acea schimbare într-o influență de conducere sau perturbatoare, adică care este natura procesului de tranziție al sistemului, dacă sistemul va fi stabil sau instabil - aceste întrebări și altele similare sunt luate în considerare în dinamica sistemelor, control automat.
2.1. Legături dinamice ale sistemelor automate
Necesitatea de a reprezenta elementele sistemelor automate ca verigi dinamice. Definiția unei legături dinamice
Pentru a determina proprietățile dinamice ale unui sistem automat, este necesar să existe descrierea sa matematică, adică un model matematic al sistemului. Pentru a face acest lucru, este necesar să se întocmească ecuații diferențiale ale elementelor sistemului, cu ajutorul cărora sunt descrise procesele dinamice care au loc în ele.
Când se analizează elementele sistemelor automate, se dovedește că diferite elemente care diferă ca scop, design, principiu de funcționare și procese fizice sunt descrise prin aceleași ecuații diferențiale, adică sunt similare în proprietăți dinamice. De exemplu, într-un circuit electric și într-un sistem mecanic, în ciuda naturii lor fizice diferite, procesele dinamice pot fi descrise prin ecuații diferențiale similare.
Orez. 2.1. Reacții posibile ale sistemului de urmărire la o acțiune de comandă în pas.
În teoria controlului automat, elementele sistemelor automate din punct de vedere al proprietăților lor dinamice sunt reprezentate cu ajutorul unui număr mic de legături dinamice elementare. O legătură dinamică elementară este înțeleasă ca un model matematic al unei părți a sistemului izolată artificial, caracterizată printr-un algoritm simplu (descrierea matematică sau grafică a procesului).
O legătură elementară poate reprezenta uneori mai multe elemente ale unui sistem sau invers - un element poate fi reprezentat sub forma mai multor legături.
În funcție de direcția influenței, se disting intrarea și ieșirea și, în consecință, valorile de intrare și ieșire ale legăturii. Valoarea de ieșire a legăturii direcționale nu afectează valoarea de intrare. Ecuațiile diferențiale ale unor astfel de legături pot fi compilate separat și independent de alte legături. Deoarece ACS include diverse amplificatoare cu acțiune direcțională, ACS are capacitatea de a transmite influențe doar într-o singură direcție. Prin urmare, ecuația pentru dinamica întregului sistem poate fi obținută din ecuațiile pentru dinamica legăturilor sale, excluzând variabilele intermediare.
Legăturile dinamice elementare stau la baza construirii unui model matematic al unui sistem de orice complexitate.
Clasificarea și caracteristicile dinamice ale legăturilor
Tipul de legătură este determinat de algoritmul în conformitate cu care este convertită influența de intrare. În funcție de algoritm, se disting următoarele tipuri de legături dinamice elementare: proporționale (amplificare), aperiodice (inerțiale), oscilatorii, integratoare și diferențiatoare.
Fiecare legătură este caracterizată de următoarele caracteristici dinamice: ecuația dinamicii (mișcarea), funcția de transfer, funcțiile de tranziție și tranziție de impuls (greutate), caracteristicile frecvenței. Proprietățile unui sistem automat sunt, de asemenea, evaluate prin aceleași caracteristici dinamice. Să luăm în considerare caracteristicile dinamice folosind exemplul unei legături aperiodice,
Orez. 2.2. Circuitul electric, reprezentat printr-o legătură aperiodă, și reacția legăturii la influențe tipice de intrare: a - diagramă; b - efect de un singur pas; c - funcţia de tranziţie a legăturii; - un singur impuls; d - funcția de tranziție a pulsului a legăturii.
care reprezintă circuitul electric prezentat în Fig. 2.2, a.
Ecuația dinamicii legăturii (sistemului). Ecuația dinamicii unui element (link) - o ecuație care determină dependența valorii de ieșire a unui element (link) de valoarea de intrare
Ecuația dinamicii poate fi scrisă în forme diferențiale și operaționale. Pentru a obține ecuația diferențială a unui element, ecuațiile diferențiale sunt compilate pentru mărimile de intrare și de ieșire ale acestui element. În raport cu circuitul electric (Fig. 2.2, a):
Ecuația diferențială a circuitului se obține din aceste ecuații prin eliminarea variabilei intermediare
unde este constanta de timp, s; - coeficientul de câștig al legăturii.
În teoria controlului automat, se acceptă următoarea formă de scriere a ecuației: mărimea de ieșire și derivatele sale sunt în partea stângă, cu derivata pe primul loc de ordin superior; cantitatea de ieșire intră în ecuație cu un coeficient egal cu unu; cantitatea de intrare, precum și, mai general, derivatele sale și alți termeni (perturbații) sunt în partea dreaptă a ecuației. Ecuația (2.1) se scrie în conformitate cu această formă.
Un element al sistemului, al cărui proces este descris printr-o ecuație de forma (2.1), este reprezentat printr-o legătură aperiodică (legătură inerțială, statică de ordinul întâi).
Pentru a obține ecuația dinamicii în formă operațională (Laplace), funcțiile incluse în ecuația diferențială sunt înlocuite cu funcții transformate la Laplace, iar operațiile de diferențiere
iar integrarea în cazul condiţiilor iniţiale zero - prin înmulţirea şi împărţirea la o variabilă complexă a imaginilor funcţiilor din care este luată derivata sau integrala. Ca urmare a acestui fapt, are loc o tranziție de la o ecuație diferențială la una algebrică. În conformitate cu ecuația diferențială (2.1), ecuația pentru dinamica unei legături aperiodice în formă operațională pentru cazul condițiilor inițiale zero are forma:
unde este imaginea Laplace a funcției timp și este un număr complex.
Forma operațională (2.2) de scriere a ecuației nu trebuie confundată cu forma simbolică de scriere a ecuației diferențiale:
unde este simbolul de diferențiere. Nu este dificil să distingem simbolul de diferențiere de o variabilă complexă: după simbolul de diferențiere există originalul, adică o funcție a, iar după variabila complexă există imaginea Laplace, adică. funcția de
Din formula (2.1) este clar că legătura aperiodică este descrisă printr-o ecuație de ordinul întâi. Alte unități elementare sunt descrise prin ecuații de ordinul zero, primul și maxim al doilea.
Funcția de transfer a unei legături (sistem) reprezintă raportul dintre imaginile Laplace ale ieșirii Xx și valorile de intrare la condiții inițiale zero:
Funcția de transfer a unei legături (sistem) poate fi determinată din ecuația legăturii (sistemului), scrisă în formă operațională. Pentru o legătură aperiodică în conformitate cu ecuația (2.2)
Din expresia (2.3) rezultă
adică cunoscând imaginea Laplace a acțiunii de intrare și funcția de transfer a legăturii (sistemului), puteți determina imaginea valorii de ieșire a acestei legături (sistem).
Imaginea valorii de ieșire a legăturii aperiodice în conformitate cu expresia (2.4) este următoarea:
Funcția de tranziție a unei legături (sistem) h(t) este reacția unei legături (sistem) la influența tipului de funcție de treaptă unitară (Fig. 2.2, b) în condiții inițiale zero. Funcția de tranziție poate fi determinată prin rezolvarea unei ecuații diferențiale folosind metode obișnuite sau operaționale. Pentru determinare
Folosind metoda operațională, înlocuim imaginea funcției pasului unitar în ecuația (2.5) și găsim imaginea funcției de tranziție
adică, imaginea funcției de tranziție este egală cu funcția de transfer împărțită la Funcția de tranziție se găsește ca transformată Laplace inversă a
Pentru a determina legătura aperiodică, înlocuim în ecuația (2.6) și găsim imaginea funcției de tranziție
Descompunem în fracții elementare în care și folosind tabelele de transformare Laplace găsim originalul
Graficul funcției de tranziție a legăturii aperiodice este prezentat în Fig. 2.2, c. Figura arată că procesul de tranziție al legăturii este de natură aperiodic. Valoarea de ieșire a legăturii nu își atinge valoarea imediat, ci treptat. În special, valoarea este atinsă prin .
Funcția de tranziție a impulsurilor (funcția de greutate) a unei legături (sistem) este reacția unei legături (sistem) la un singur impuls (impuls instantaneu cu amplitudine și unitate de suprafață infinit de mari, Fig. 2.2, d). Un impuls unitar se obţine prin diferenţierea unui salt unitar: sau sub formă operaţională: Prin urmare
adică, imaginea funcției de tranziție a impulsului este egală cu funcția de transfer a legăturii (sistemului). Rezultă că pentru a caracteriza proprietățile dinamice ale unei legături (sistem), atât funcția de transfer, cât și funcția de tranziție a impulsului pot fi utilizate în mod egal. După cum se poate observa din (2.8), pentru a obține funcția de tranziție de impuls, este necesar să se găsească originalul corespunzător funcției de transfer Funcția de tranziție de impuls a legăturii aperiodice
În conformitate cu (2.7) sau când se merge la originale, funcția de tranziție de impuls a unei legături (sistem) poate fi obținută și prin diferențierea funcției de tranziție. Funcția tranzitorie a pulsului aperiodic
(click pentru a vizualiza scanarea)
Orez. 2.3. Scheme schematice ale elementelor reprezentate printr-o legătură proporţională: a - divizor de tensiune; b - potențiometru; c - amplificator tranzistor; g - cutie de viteze.
După cum vedem, expresiile (2.9) și (2.10) coincid. Graficul funcției tranzitorii de impuls a legăturii aperiodice este prezentat în Fig. 2.2, d.
Din expresia (2.5) și exemplele luate în considerare, rezultă că pentru o acțiune de intrare dată, valoarea de ieșire este determinată de funcția de transfer. Prin urmare, cerințele tehnice pentru valoarea de ieșire a unei legături (sistem) pot fi exprimate prin cerințele corespunzătoare pentru funcția de transfer a acestei legături (sistem). În teoria controlului automat, metoda de cercetare și proiectare a sistemelor folosind funcția de transfer este una dintre principalele metode.
Legătură proporțională (de întărire). Ecuația legăturii are forma:
adică există o relație proporțională între valorile de ieșire și de intrare ale legăturii. Ecuația (2.11) în formă operațională
Din ecuația (2.12) se determină funcția de transfer a legăturii
adică funcția de transfer a legăturii proporționale este numeric egală cu câștigul. Exemple de astfel de legături pot fi un divizor de tensiune, un senzor potențiometric, o treaptă de amplificare electronică, o cutie de viteze ideală, ale cărei circuite sunt prezentate în Fig. 2.3, a, b, f, d, respectiv. Câștigul legăturii proporționale poate fi fie o valoare adimensională (divizor de tensiune, treaptă de amplificare, cutie de viteze) fie o valoare dimensională (senzor potențiometric).
Să evaluăm proprietățile dinamice ale legăturii proporționale. Când o legătură cu funcția de pas este aplicată intrării, cantitatea de ieșire (funcția de tranziție) datorată egalității (2.11) va fi, de asemenea, treptat (Tabelul 2.1), adică cantitatea de ieșire copiază modificarea în intrare
valori fără întârziere și distorsiuni. Prin urmare, legătura proporțională este numită și fără inerție.
Funcție proporțională tranzitorie de impuls
adică este un impuls instantaneu de amplitudine infinit de mare, a cărui zonă
Legătură oscilativă. Ecuația legăturii:
sau în formă operațională
Atunci funcția de transfer a legăturii oscilatorii are forma
Proprietățile dinamice ale unei legături depind de rădăcinile ecuației sale caracteristice
Componentă gratuită a soluției
Soluția completă a ecuației (2.14) cu o acțiune de intrare în pas (funcția de tranziție a legăturii) are forma:
unde este frecvența unghiulară a oscilațiilor naturale; - faza iniţială a oscilaţiilor; - scaderea amortizarii; - coeficientul relativ de atenuare.
Ce este o legătură dinamică? În lecțiile anterioare, ne-am uitat la părțile individuale ale sistemului de control automat și le-am numit elemente sisteme automate de control. Elementele pot avea aspect fizic și design diferit. Principalul lucru este că astfel de elemente sunt furnizate cu unele semnal de intrare x( t ) , iar ca răspuns la acest semnal de intrare, elementul sistemului de control generează unele semnal de ieșire y( t ) . Am stabilit în continuare că relația dintre semnalele de ieșire și de intrare este determinată de proprietăți dinamice elemente de control, care pot fi reprezentate ca funcție de transfer W(e). Asa de, o legătură dinamică este orice element al unui sistem de control automat care are o anumită descriere matematică, adică pentru care se cunoaşte funcţia de transfer.
Orez. 3.4. Elementul (a) și legătura dinamică (b) ale tunului autopropulsat.
Legături dinamice tipice– acesta este setul minim necesar de legături pentru a descrie un sistem de control de orice tip. Linkurile tipice includ:
legătură proporțională;
legătură aperiodică de ordinul întâi;
legatura aperiodica de ordinul doi;
legătură oscilativă;
legătură de integrare;
legătură ideală de diferențiere;
Legătura de forțare de ordinul 1;
legătură de forțare de ordinul doi;
legătură cu pură întârziere.
Legătură proporțională
Legătura proporțională se mai numește fără inerţie .
1. Funcția de transfer.
Funcția de transfer a legăturii proporționale are forma:
W(s) = K unde K este câștigul.
Legătura proporțională este descrisă de ecuația algebrică:
y(t) = K· X(t)
Exemple de astfel de legături proporționale includ un mecanism de pârghie, o transmisie mecanică rigidă, o cutie de viteze, un amplificator de semnal electronic la frecvențe joase, un divizor de tensiune etc.
4. Funcția de tranziție .
Funcția de tranziție a verigii proporționale are forma:
h(t) = L -1 = L -1 = K· 1(t)
5. Funcția de greutate.
Funcția de ponderare a legăturii proporționale este egală cu:
w(t) = L -1 = K·δ(t)
Orez. 3.5. Funcția de tranziție, funcție de greutate, AFC și răspuns în frecvență proporțional .
6. Caracteristicile frecvenței .
Să găsim AFC, AFC, PFC și LAC ale legăturii proporționale:
W(jω ) = K = K +0·j
A(ω
)
=
= K
φ(ω) = arctan(0/K) = 0
L(ω) = 20 lg = 20 lg(K)
După cum rezultă din rezultatele prezentate, amplitudinea semnalului de ieșire nu depinde de frecvență. În realitate, nicio legătură nu este capabilă să treacă uniform toate frecvențele de la 0 la ¥, de regulă, la frecvențe înalte, câștigul devine mai mic și tinde spre zero ca ω → ∞; Prin urmare, modelul matematic al legăturii proporționale este o oarecare idealizare a legăturilor reale .
Legatura aperiodica eu -a ordine
Legăturile aperiodice se mai numesc inerțială .
1. Funcția de transfer.
Funcția de transfer a legăturii aperiodice de ordinul întâi are forma:
W(s) = K/(T· s + 1)
unde K este câștigul; T – constanta de timp care caracterizeaza inertia sistemului, i.e. durata procesului de tranziție în acesta. Deoarece constanta de timp caracterizează un anumit interval de timp , atunci valoarea sa trebuie să fie întotdeauna pozitivă, adică. (T > 0).
2. Descrierea matematică a legăturii.
O legătură aperiodică de ordinul întâi este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul întâi:
T· dy(t)/ dt+ y(t) = K·X(t)
3. Implementarea fizică a legăturii.
Exemple de legături aperiodice de ordinul întâi pot fi: un filtru electric RC; convertor termoelectric; rezervor de gaz comprimat etc.
4. Funcția de tranziție .
Funcția de tranziție a legăturii aperiodice de ordinul întâi are forma:
h(t) = L -1 = L -1 = K – K e -t/T = K·(1 – e -t/T )
Orez. 3.6. Caracteristica de tranziție a unei legături aperiodice de ordinul I.
Procesul de tranziție al verigii aperiodice de ordinul întâi are o formă exponențială. Valoarea în regim staționar este: h set = K. Tangenta în punctul t = 0 intersectează linia valorii în regim staționar în punctul t = T. În momentul t = T, funcția de tranziție ia valoarea: h(T) ≈ 0,632·K, adică în timpul T, răspunsul tranzitoriu câștigă doar aproximativ 63% din valoarea de stare staționară.
Să definim timp de reglementare T la pentru o legătură aperiodică de ordinul întâi. După cum se știe din prelegerea anterioară, timpul de control este timpul după care diferența dintre valorile curente și cele constante nu va depăși o anumită valoare mică specificată Δ. (De obicei, Δ este setat la 5% din valoarea staționară.)
h(T y) = (1 – Δ) h gura = (1 – Δ) K = K (1 – e - T y/ T), deci e - T y/ T = Δ, apoi T y / T = - ln(Δ), Ca rezultat, obținem T y = [-ln(Δ)]·T.
La Δ = 0,05 T y = - ln(0,05) T ≈ 3 T.
Cu alte cuvinte, timpul procesului de tranziție al legăturii aperiodice de ordinul întâi este de aproximativ 3 ori mai mare decât constanta de timp.
Legăturile algoritmice care sunt descrise prin ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi și al doilea sunt numite legături dinamice tipice .
Legăturile dinamice tipice sunt componentele principale ale structurilor algoritmice ale sistemelor de control continuu, cunoașterea caracteristicilor acestora facilitează semnificativ analiza unor astfel de sisteme.
Este convenabil să se efectueze clasificarea luând în considerare diferite forme particulare ale ecuației diferențiale:
|
2T 2 Static
-prevala
-prevalaLegături cu un 2 
0 și 1 
0 au staticism, i.e. conexiune neechivocă între variabilele de intrare și de ieșire în modul static. Legături – statice sau poziționale.
Legături care au 2 din cei trei coeficienți a 2 
0 și 1 
0 și 0 
0, au inerție (încetinire).
Legăturile 1,5,7 au doar 2 coeficienți 
0. Sunt cele mai simple, sau elementare. Toate celelalte legături tipice pot fi formate din cele elementare prin conexiuni seriale, paralele și anti-paralele.
Legatura aperiodica
Dinamica procesului este descrisă de următoarea ecuație:
Unde k - coeficient de transfer sau câștig, T constantă de timp care caracterizează inerţia legăturii.
1
. Răspuns pas:
1)
2) În punctul zero, construiți o tangentă la caracteristica de tranziție și determinați punctul de intersecție cu dreapta k. Abscisa acestui punct este constanta de timp.
2. Răspunsul la impuls, sau funcția de greutate, a unei legături poate fi obținută prin diferențierea funcției h(t) :
3. Funcția de transfer:
P
Diagrama bloc a legăturii va arăta astfel:
Înlocuirea în funcția de transfer p= j , obținem funcția amplitudine-fază-frecvență:
5
. Raspuns in frecventa:
Graficul răspunsului în frecvență este reprezentat de puncte:
Aici Cu– frecventa de cuplare.
Semnale armonice de joasă frecvență ( < Cu) sunt trecute prin puțul de legătură - cu raportul dintre amplitudinile valorilor de ieșire și de intrare apropiate de coeficientul de transfer k. Semnale de înaltă frecvență ( > Cu) sunt slab transmise de legătură: raportul de amplitudine este semnificativ< коэффициента k. Cu cât constanta de timp este mai mare T, adică cu cât este mai mare inerția legăturii, cu atât răspunsul în frecvență este mai puțin alungit de-a lungul axei frecvenței sau, cu atât mai mult la aceeași lățime de bandă de frecvență.
Acea. legătura inerțială de ordinul întâi în proprietățile sale de frecvență este filtru trece jos .
Răspunsul de fază al legăturii inerțiale de ordinul întâi este egal cu:
Cu cât frecvența semnalului de intrare este mai mare, cu atât este mai mare decalajul de fază al valorii de ieșire față de valoarea de intrare. Decalajul maxim posibil este 90 0 . La frecventa Cu = 1/T defazatul este –45 0.
Să luăm acum în considerare LACCH-ul link-ului. LFC exact este descris prin expresia:
Când construiesc LFC a unei legături aperiodice, ei recurg la metode asimptotice sau, cu alte cuvinte, construiesc un grafic asimptotic al LFC.
Valoarea frecvenței conjugate w c la care ambele asimptote se intersectează va fi găsită din condiție
Să vedem ce se întâmplă când construim nu un asimptotic, ci un LFC exact:
Caracteristica exactă (LAFC) la punctul de tăiere va fi mai mică decât LFC asimptotic cu cantitatea 
.
Există o așa-numită legătură aperiodică instabilă
Legătură oscilativă
Dinamica proceselor în legătura oscilativă este descrisă de ecuația:
,
Unde k câştig de legătură; T constanta de timp a verigii oscilatorii; 
coeficientul de amortizare a legăturii (sau coeficientul de atenuare).
În funcție de valoarea coeficientului de amortizare, se disting patru tipuri de legături:
a) vibrație 0<
<1;
b) legatura aperiodica de ordinul doi 
>1;
c) legătura conservatoare 
=0;
d) legătură oscilativă instabilă 
<0.
1. Caracteristica tranzitorie a legăturii oscilatorii:
A
, sau poate fi găsit prin determinarea constantei de timp a exponențialului cu care are loc amortizarea 
Cu cât coeficientul de amortizare este mai aproape de unitate, cu atât amplitudinea oscilațiilor este mai mică, cu atât este mai mică T, se stabilesc procesele tranzitorii mai rapide.
La >1 legătură oscilativă este numită link aperiodic de ordinul doi (conectare în serie a două legături aperiodice cu constante de timp T 1 Și T 2 ).
, sau poți scrie așa 
.
Aici
0
– reciproca constantei de timp ( 
);
.
O astfel de legătură este numită în literatură legătură conservatoare .
Toate caracteristicile tranzitorii vor fluctua de-a lungul valorii k.
2. Răspuns tranzitoriu la impuls:
3
Graficul AFC va arăta astfel: 
Aceasta este o caracteristică pentru o legătură oscilativă și pentru o legătură aperiodică de ordinul doi.
Pentru o legătură aperiodică - 
.
-
AFFC pentru legătura conservatoare.
.
A
are un maxim (vârf de rezonanță) egal cu
Din aceasta este clar că cu cât coeficientul este mai mic , cu cât este mai mare vârful de rezonanță.
T
Pentru ocazie b) graficul va fi similar, doar inflexiunea va fi puțin mai mică (linie întreruptă pe grafic).
Unde 
LFC asimptotic al legăturii oscilatorii:
Determinăm panta în a doua secțiune:
Model pentru program A) este dat de la 0 la 1 în trepte de 0,1.
LA
Diagrama bloc a legăturii oscilatorii va arăta astfel:
Un exemplu de legătură oscilativă este orice circuit RLC.
Proprietățile generale ale legăturilor statice
În starea staționară, variabila de ieșire y este legată în mod unic de variabila de intrare x prin ecuația statică
Coeficientul de transfer al legăturii este legat de funcția de transfer prin relație
Legăturile sunt legături de joasă frecvență (cu excepția celei fără inerție), adică. Ele transmit bine semnale de joasă frecvență și transmit slab semnale de înaltă frecvență în modul de oscilații armonice creează defazări negative.
