Cercul trigonometric. Cercul unitar

Semnul funcției trigonometrice depinde numai de cadranul de coordonate în care se află argumentul numeric. Ultima dată am învățat să convertim argumente dintr-o măsură în radian într-o măsură a gradului (vezi lecția „Măsura radianilor și gradului unui unghi”) și apoi determinăm același sfert de coordonate. Acum să determinăm de fapt semnul sinusului, cosinusului și tangentei.

Sinusul unghiului α este ordonata (coordonata y) a unui punct dintr-un cerc trigonometric care apare atunci când raza este rotită cu unghiul α.

Cosinusul unghiului α este abscisa (coordonata x) a unui punct dintr-un cerc trigonometric, care apare atunci când raza este rotită cu unghiul α.

Tangenta unghiului α este raportul dintre sinus și cosinus. Sau, care este același lucru, raportul dintre coordonatele y și coordonatele x.

Notatie: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Toate aceste definiții vă sunt familiare din algebra de liceu. Cu toate acestea, nu ne interesează definițiile în sine, ci consecințele care apar asupra cercului trigonometric. Aruncă o privire:

Culoarea albastră indică direcția pozitivă a axei OY (axa ordonatelor), roșul indică direcția pozitivă a axei OX (axa absciselor). Pe acest „radar” semnele funcțiilor trigonometrice devin evidente. În special:

1. sin α > 0 dacă unghiul α se află în cadranul de coordonate I sau II. Acest lucru se datorează faptului că, prin definiție, sinusul este o ordonată (coordonată y). Iar coordonata y va fi pozitivă tocmai în sferturile de coordonate I și II;
2. cos α > 0, dacă unghiul α se află în cadranul de coordonate 1 sau 4. Deoarece numai acolo coordonata x (aka abscisă) va fi mai mare decât zero;
3. tan α > 0 dacă unghiul α se află în cadranul de coordonate I sau III. Aceasta rezultă din definiție: la urma urmei, tan α = y : x, deci este pozitiv numai acolo unde semnele lui x și y coincid. Acest lucru se întâmplă în primul trimestru de coordonate (aici x > 0, y > 0) și în al treilea trimestru de coordonate (x< 0, y < 0).

Pentru claritate, să notăm semnele fiecărei funcții trigonometrice - sinus, cosinus și tangentă - pe „radare” separate. Obținem următoarea imagine:

Vă rugăm să rețineți: în discuțiile mele nu am vorbit niciodată despre a patra funcție trigonometrică - cotangentă. Faptul este că semnele cotangente coincid cu semnele tangente - acolo nu există reguli speciale.

Acum îmi propun să luăm în considerare exemple similare cu problemele B11 din proba Examenul de stat unificat la matematică, care a avut loc pe 27 septembrie 2011. La urma urmei, cel mai bun mod de a înțelege teoria este practica. Este indicat să aveți multă practică. Desigur, condițiile sarcinilor au fost ușor modificate.

Sarcină. Determinați semnele funcțiilor și expresiilor trigonometrice (valorile funcțiilor în sine nu trebuie calculate):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos (7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Planul de acțiune este următorul: mai întâi convertim toate unghiurile din măsurile radianilor în grade (π → 180°), apoi ne uităm la ce sfert de coordonate se află numărul rezultat. Cunoscând sferturile, putem găsi cu ușurință semnele - conform regulilor tocmai descrise. Avem:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Deoarece 135° ∈ , acesta este un unghi din cadranul de coordonate II. Dar sinusul din al doilea trimestru este pozitiv, deci sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Deoarece 210° ∈ , acesta este unghiul din al treilea cadran de coordonate, în care toate cosinusurile sunt negative. Prin urmare cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Din moment ce 300° ∈ , ne aflăm în trimestrul IV, unde tangenta ia valori negative. Prin urmare, tan (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Să ne ocupăm de sinusul: pentru că 135° ∈ , acesta este al doilea sfert în care sinusurile sunt pozitive, adică. sin (3π/4) > 0. Acum lucrăm cu cosinus: 150° ∈ - din nou al doilea trimestru, cosinusurile de acolo sunt negative. Prin urmare cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Ne uităm la cosinus: 120° ∈ este sfertul de coordonate II, deci cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Din nou am obținut un produs în care factorii au semne diferite. Deoarece „minus cu plus dă minus”, avem: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Lucrăm cu sinusul: de la 150° ∈ , vorbim de sfertul de coordonate II, unde sinusurile sunt pozitive. Prin urmare, sin (5π/6) > 0. În mod similar, 315° ∈ este sfertul de coordonate IV, cosinusurile de acolo sunt pozitive. Prin urmare cos (7π/4) > 0. Am obținut produsul a două numere pozitive - o astfel de expresie este întotdeauna pozitivă. Concluzionăm: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Dar unghiul de 135° ∈ este al doilea sfert, adică. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Deoarece „minus cu plus dă semnul minus”, avem: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Ne uităm la argumentul cotangentei: 240° ∈ este sfert de coordonată III, deci ctg (4π/3) > 0. În mod similar, pentru tangentă avem: 30° ∈ este sfert de coordonată I, adică. cel mai simplu unghi. Prin urmare, tan (π/6) > 0. Din nou avem două expresii pozitive - produsul lor va fi și el pozitiv. Prin urmare, cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

În cele din urmă, să ne uităm la câteva probleme mai complexe. În afară de a afla semnul funcției trigonometrice, va trebui să faceți puțină matematică aici - exact așa cum se face în problemele reale B11. În principiu, acestea sunt probleme aproape reale care apar de fapt la Examenul Unificat de Stat la matematică.

Sarcină. Aflați sin α dacă sin 2 α = 0,64 și α ∈ [π/2; π].

Deoarece sin 2 α = 0,64, avem: sin α = ±0,8. Rămâne doar să decizi: plus sau minus? După condiție, unghiul α ∈ [π/2; π] este sfertul de coordonate II, unde toate sinusurile sunt pozitive. Prin urmare, sin α = 0,8 - se elimină incertitudinea cu semne.

Sarcină. Aflați cos α dacă cos 2 α = 0,04 și α ∈ [π; 3π/2].

Acționăm în mod similar, adică se ia rădăcina pătrată: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. După condiție, unghiul α ∈ [π; 3π/2], adică Vorbim despre al treilea trimestru de coordonate. Toate cosinusurile de acolo sunt negative, deci cos α = −0,2.

Sarcină. Aflați sin α dacă sin 2 α = 0,25 și α ∈ .

Avem: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Ne uităm din nou la unghi: α ∈ este sfert de coordonată IV, în care, după cum știm, sinusul va fi negativ. Astfel, concluzionăm: sin α = −0,5.

Sarcină. Aflați tan α dacă tan 2 α = 9 și α ∈ .

Totul este la fel, doar pentru tangentă. Extrageți rădăcina pătrată: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Dar conform condiției, unghiul α ∈ este sfert de coordonate I. Toate funcțiile trigonometrice, incl. tangente, sunt pozitive, deci tan α = 3. Gata!

Cercul trigonometric. Cercul unitar. Cercul numeric. Ce este?

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Foarte des termeni cerc trigonometric, cerc unitar, cerc numeric prost înțeles de către elevi. Și complet în zadar. Aceste concepte sunt un asistent puternic și universal în toate domeniile trigonometriei. De fapt, aceasta este o foaie de cheat legal! Am desenat un cerc trigonometric și am văzut imediat răspunsurile! Ispititor? Deci haideți să învățăm, ar fi un păcat să nu folosiți așa ceva. În plus, nu este deloc dificil.

Pentru a lucra cu succes cu cercul trigonometric, trebuie să știți doar trei lucruri.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Diverse. Unele dintre ele sunt despre în ce sferturi cosinusul este pozitiv și negativ, în ce sferturi sinusul este pozitiv și negativ. Totul se dovedește a fi simplu dacă știi cum să calculezi valoarea acestor funcții în diferite unghiuri și ești familiarizat cu principiul trasării funcțiilor pe un grafic.

Care sunt valorile cosinusului?

Dacă îl luăm în considerare, avem următorul raport de aspect, care îl determină: cosinusul unghiului A este raportul catetei adiacente BC la ipotenuza AB (fig. 1): cos A= BC/AB.

Folosind același triunghi puteți găsi sinusul unui unghi, tangente și cotangente. Sinusul va fi raportul dintre latura opusă a unghiului AC și ipotenuza AB. Tangenta unui unghi se găsește dacă sinusul unghiului dorit este împărțit la cosinusul aceluiași unghi; Înlocuind formulele corespunzătoare pentru găsirea sinusului și cosinusului, obținem că tg A= AC/BC. Cotangenta, ca functie inversa tangentei, se va gasi astfel: ctg A= BC/AC.

Adică, cu aceleași valori unghiulare, s-a descoperit că într-un triunghi dreptunghic raportul aspectului este întotdeauna același. S-ar părea că a devenit clar de unde provin aceste valori, dar de ce obținem numere negative?

Pentru a face acest lucru, trebuie să luați în considerare triunghiul într-un sistem de coordonate carteziene, unde există atât valori pozitive, cât și negative.

În mod clar despre sferturi, unde este care

Ce sunt coordonatele carteziene? Dacă vorbim de spațiu bidimensional, avem două drepte direcționate care se intersectează în punctul O - acestea sunt axa absciselor (Ox) și axa ordonatelor (Oy). Din punctul O în direcția dreptei există numere pozitive, iar în sens opus - numere negative. În cele din urmă, acest lucru determină direct în ce sferturi cosinusul este pozitiv și în care, în consecință, negativ.

Primul sfert

Dacă plasați un triunghi dreptunghic în primul sfert (de la 0 o la 90 o), unde axele x și y au valori pozitive (segmentele AO și BO se află pe axele unde valorile au un „+” semn), atunci atât sinus, cât și cosinus vor avea valori pozitive și li se atribuie o valoare cu un semn plus. Dar ce se întâmplă dacă mutați triunghiul în al doilea sfert (de la 90 o la 180 o)?

Al doilea sfert

Vedem că de-a lungul axei y picioarele AO au primit o valoare negativă. Cosinusul unghiului A acum are această latură în raport cu un minus și, prin urmare, valoarea sa finală devine negativă. Se pare că în ce sfert cosinusul este pozitiv depinde de plasarea triunghiului în sistemul de coordonate carteziene. Și în acest caz, cosinusul unghiului primește o valoare negativă. Dar pentru sinus nimic nu s-a schimbat, pentru că pentru a-i determina semnul este nevoie de partea OB, care în acest caz a rămas cu semnul plus. Să rezumam primele două trimestre.

Pentru a afla în ce sferturi cosinusul este pozitiv și în care este negativ (precum și sinusul și alte funcții trigonometrice), trebuie să vă uitați la ce semn este atribuit cărei laturi. Pentru cosinusul unghiului A Latura AO este importantă, pentru sinus - OB.

Primul trimestru a devenit până acum singurul care răspunde la întrebarea: „În care sferturi sunt sinus și cosinus pozitiv în același timp?” Să vedem în continuare dacă vor mai exista coincidențe în semnul acestor două funcții.

În al doilea trimestru, latura AO a început să aibă o valoare negativă, ceea ce înseamnă că și cosinusul a devenit negativ. Sinusul se păstrează pozitiv.

Al treilea trimestru

Acum ambele părți AO și OB au devenit negative. Să ne amintim relațiile pentru cosinus și sinus:

Cos a = AO/AB;

Sin a = VO/AV.

AB are întotdeauna un semn pozitiv într-un sistem de coordonate dat, deoarece nu este direcționat în niciuna dintre cele două direcții definite de axe. Dar picioarele au devenit negative, ceea ce înseamnă că rezultatul pentru ambele funcții este și negativ, pentru că dacă efectuați operații de înmulțire sau împărțire cu numere, dintre care unul și numai unul are semnul minus, atunci rezultatul va fi și cu acest semn.

Rezultatul în această etapă:

1) În ce sfert este cosinusul pozitiv? În primul din trei.

2) În ce trimestru este sinusul pozitiv? În primul și al doilea din trei.

Al patrulea trimestru (de la 270 o la 360 o)

Aici partea AO capătă din nou semnul plus și, prin urmare, și cosinusul.

Pentru sine, lucrurile sunt încă „negative”, deoarece piciorul OB rămâne sub punctul de plecare O.

concluzii

Pentru a înțelege în ce sferturi cosinusul este pozitiv, negativ etc., trebuie să vă amintiți relația pentru calcularea cosinusului: catetul adiacent unghiului împărțit la ipotenuză. Unii profesori sugerează să ne amintim acest lucru: k(ozina) = (k) unghi. Dacă vă amintiți acest „triș”, atunci înțelegeți automat că sinusul este raportul dintre catetul opus al unghiului și ipotenuză.

Este destul de greu de reținut în ce sferturi cosinusul este pozitiv și în care este negativ. Există multe funcții trigonometrice și toate au propriile lor semnificații. Dar totuși, ca rezultat: valorile pozitive pentru sinus sunt 1,2 sferturi (de la 0 o la 180 o); pentru cosinus 1,4 sferturi (de la 0 o la 90 o si de la 270 o la 360 o). În sferturile rămase funcțiile au valori în minus.

Poate că va fi mai ușor pentru cineva să-și amintească care semn este care, ilustrând funcția.

Pentru sinus este clar că de la zero la 180 o creasta este deasupra liniei valorilor sin(x), ceea ce înseamnă că funcția de aici este pozitivă. Pentru cosinus este același: în ce sfert cosinusul este pozitiv (foto 7) și în care este negativ, puteți vedea deplasând linia deasupra și sub axa cos(x). Ca rezultat, ne putem aminti două moduri de a determina semnul funcțiilor sinus și cosinus:

1. Pe baza unui cerc imaginar cu raza egală cu unu (deși, de fapt, nu contează care este raza cercului, acesta este exemplul cel mai des dat în manuale; asta îl face mai ușor de înțeles, dar la în același timp, cu excepția cazului în care se stipulează că acest lucru. Nu contează, copiii se pot încurca).

2. Reprezentând dependența funcției de-a lungul (x) de argumentul x însuși, ca în ultima figură.

Folosind prima metodă, puteți ÎNȚELEGE de ce depinde exact semnul și am explicat acest lucru în detaliu mai sus. Figura 7, construită din aceste date, vizualizează funcția rezultată și semnul acesteia în cel mai bun mod posibil.

Coordonatele X punctele situate pe cerc sunt egale cu cos(θ), iar coordonatele y corespund cu sin(θ), unde θ este mărimea unghiului.

• Dacă vă este greu să vă amintiți această regulă, amintiți-vă doar că în perechea (cos; păcat) „sinusul vine ultimul”.
• Această regulă poate fi derivată luând în considerare triunghiurile dreptunghiulare și definiția acestor funcții trigonometrice (sinusul unui unghi este egal cu raportul dintre lungimea laturii opuse și cosinusul laturii adiacente ipotenuzei).

Notați coordonatele a patru puncte de pe cerc. Un „cerc unitar” este un cerc a cărui rază este egală cu unu. Utilizați aceasta pentru a determina coordonatele XȘi yîn patru puncte de intersecție a axelor de coordonate cu cercul. Mai sus, pentru claritate, am desemnat aceste puncte drept „est”, „nord”, „vest” și „sud”, deși nu au denumiri stabilite.

• „Est” corespunde punctului cu coordonate (1; 0) .
• „Nord” corespunde punctului cu coordonate (0; 1) .
• „Vest” corespunde punctului cu coordonate (-1; 0) .
• „Sud” corespunde punctului cu coordonate (0; -1) .
• Acesta este similar cu un grafic obișnuit, deci nu este nevoie să memorați aceste valori, doar amintiți-vă principiul de bază.

Vă permite să stabiliți un număr de rezultate caracteristice - proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. În acest articol ne vom uita la trei proprietăți principale. Prima dintre ele indică semnele sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului α în funcție de unghiul al cărui sfert de coordonate este α. În continuare vom lua în considerare proprietatea periodicității, care stabilește invarianța valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului α atunci când acest unghi se modifică cu un număr întreg de rotații. A treia proprietate exprimă relația dintre valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor opuse α și −α.

Dacă sunteți interesat de proprietățile funcțiilor sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, atunci le puteți studia în secțiunea corespunzătoare a articolului.

Navigare în pagină.

Semne de sinus, cosinus, tangente și cotangente pe sferturi

Mai jos în acest paragraf va apărea expresia „unghiul I, II, III și IV sfert de coordonate”. Să explicăm care sunt aceste unghiuri.

Să luăm un cerc unitar, să marchem punctul de plecare A(1, 0) pe el și să-l rotim în jurul punctului O cu un unghi α și vom presupune că vom ajunge la punctul A 1 (x, y).

Ei spun asta unghiul α este unghiul cadranului de coordonate I, II, III, IV, dacă punctul A 1 se află în sferturile I, II, III, respectiv IV; dacă unghiul α este astfel încât punctul A 1 se află pe oricare dintre dreptele de coordonate Ox sau Oy, atunci acest unghi nu aparține niciunuia dintre cele patru sferturi.

Pentru claritate, iată o ilustrare grafică. Desenele de mai jos arată unghiuri de rotație de 30, −210, 585 și −45 de grade, care sunt unghiurile sferturilor de coordonate I, II, III și, respectiv, IV.

Unghiuri 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grade nu aparțin niciunuia dintre sferturile de coordonate.

Acum să ne dăm seama ce semne au valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α, în funcție de unghiul cadranului α.

Pentru sinus și cosinus acest lucru este ușor de făcut.

Prin definiție, sinusul unghiului α este ordonata punctului A 1. Evident, în sferturile de coordonate I și II este pozitiv, iar în sferturile III și IV este negativ. Astfel, sinusul unghiului α are semnul plus în sferturile 1 și 2 și semnul minus în sferturile 3 și 6.

La rândul său, cosinusul unghiului α este abscisa punctului A 1. În trimestrul I și IV este pozitiv, iar în trimestrul II și III este negativ. În consecință, valorile cosinusului unghiului α în sferturile I și IV sunt pozitive, iar în sferturile II și III sunt negative.

Pentru a determina semnele sferturilor tangentei și cotangentei, trebuie să vă amintiți definițiile lor: tangenta este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa, iar cotangenta este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonată. Apoi de la reguli de împărțire a numerelor cu semne aceleași și diferite rezultă că tangenta și cotangenta au semnul plus atunci când semnele absciselor și ordonatelor punctului A 1 sunt aceleași și au semnul minus atunci când semnele absciselor și ordonatelor punctului A 1 sunt diferite. În consecință, tangenta și cotangenta unghiului au semnul + în sferturile de coordonate I și III și semnul minus în sferturile II și IV.

Într-adevăr, de exemplu, în primul trimestru atât abscisa x cât și ordonata y a punctului A 1 sunt pozitive, atunci atât câtul x/y cât și câtul y/x sunt pozitive, prin urmare, tangenta și cotangenta au semnele +. Și în al doilea trimestru, abscisa x este negativă, iar ordonata y este pozitivă, prin urmare atât x/y, cât și y/x sunt negative, deci tangenta și cotangenta au semnul minus.

Să trecem la următoarea proprietate a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Proprietatea de periodicitate

Acum ne vom uita la probabil cea mai evidentă proprietate a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi. Este după cum urmează: atunci când unghiul se modifică cu un număr întreg de rotații complete, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei acestui unghi nu se modifică.

Acest lucru este de înțeles: atunci când unghiul se schimbă cu un număr întreg de rotații, vom ajunge întotdeauna de la punctul de plecare A la punctul A 1 pe cercul unitar, prin urmare, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei rămân neschimbate, întrucât coordonatele punctului A 1 sunt neschimbate.

Folosind formule, proprietatea considerată a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei poate fi scrisă astfel: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, unde α este unghiul de rotație în radiani, z este oricare, a cărui valoare absolută indică numărul de rotații complete cu care unghiul α se schimbă, iar semnul numărului z indică direcția de viraj.

Dacă unghiul de rotație α este specificat în grade, atunci formulele indicate vor fi rescrise ca sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Să dăm exemple de utilizare a acestei proprietăți. De exemplu, , deoarece , A . Iată un alt exemplu: sau .

Această proprietate, împreună cu formulele de reducere, este foarte des utilizată la calcularea valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor „mari”.

Proprietatea considerată a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei este uneori numită proprietatea periodicității.

Proprietățile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor opuse

Fie A 1 punctul obținut prin rotirea punctului inițial A(1, 0) în jurul punctului O cu un unghi α, iar punctul A 2 rezultatul rotirii punctului A cu un unghi −α, opus unghiului α.

Proprietatea sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor opuse se bazează pe un fapt destul de evident: punctele A 1 și A 2 menționate mai sus fie coincid (la) fie sunt situate simetric față de axa Ox. Adică, dacă punctul A 1 are coordonate (x, y), atunci punctul A 2 va avea coordonate (x, -y). De aici, folosind definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, scriem egalitățile și .
Comparându-le, ajungem la relații între sinusuri, cosinus, tangente și cotangente ale unghiurilor opuse α și −α ale formei.
Aceasta este proprietatea luată în considerare sub formă de formule.

Să dăm exemple de utilizare a acestei proprietăți. De exemplu, egalitățile și .

Rămâne doar să rețineți că proprietatea sinusurilor, cosinusului, tangentelor și cotangentelor unghiurilor opuse, ca și proprietatea anterioară, este adesea folosită la calcularea valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei și vă permite să evitați complet negativul unghiuri.

Bibliografie.

• Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990. - 272 p.: il. - ISBN 5-09-002727-7
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.