După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b *a c = a b+c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel cu exponenți întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot unde trebuie să simplificați înmulțirea greoaie prin simplă adunare. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Într-un limbaj simplu și accesibil.
Definiție în matematică
Un logaritm este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” la baza sa „a” este considerat a fi puterea „c ” la care trebuie ridicată baza „a” pentru a obține în final valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o putere astfel încât de la 2 la puterea necesară să obții 8. După ce faci niște calcule în capul tău, obținem numărul 3! Și asta este adevărat, pentru că 2 la puterea lui 3 dă răspunsul ca 8.
Tipuri de logaritmi
Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar de fapt logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri separate de expresii logaritmice:
- Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
- Decimală a, unde baza este 10.
- Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.
Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un singur logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile acestora și succesiunea acțiunilor atunci când le rezolvați.
Reguli și unele restricții
În matematică, există mai multe reguli-constrângeri care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărul. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina pare a numerelor negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:
- Baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și nu egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
- dacă a > 0, atunci a b >0, se dovedește că și „c” trebuie să fie mai mare decât zero.
Cum se rezolvă logaritmii?
De exemplu, sarcina este de a găsi răspunsul la ecuația 10 x = 100. Acest lucru este foarte ușor, trebuie să alegeți o putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 = 100.
Acum să reprezentăm această expresie în formă logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile practic converg pentru a găsi puterea la care este necesar să se introducă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.
Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu un tabel de grade. Arata cam asa:
După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o minte tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, pentru valori mai mari veți avea nevoie de o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu știu nimic despre subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c la care este ridicat numărul a. La intersecție, celulele conțin valorile numerice care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!
Ecuații și inegalități
Rezultă că în anumite condiții exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o egalitate logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul de bază 3 al lui 81 egal cu patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 îl scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom privi mai jos exemple și soluții de ecuații, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.
Se dă următoarea expresie: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmic. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit la baza doi este mai mare decât numărul trei.
Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea unei inegalități, atât intervalul acceptabil. valorile și punctele sunt determinate întrerupând această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul la o ecuație, ci o serie continuă sau un set de numere.
Teoreme de bază despre logaritmi
La rezolvarea sarcinilor primitive de găsire a valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom uita la exemple de ecuații mai târziu; să ne uităm mai întâi la fiecare proprietate mai detaliat.
- Identitatea principală arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai atunci când a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
- Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă logaritmică, cu exemple și soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2, apoi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obținem că s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietățile lui grade ), și apoi prin definiție: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, care este ceea ce trebuia demonstrat.
- Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.
Această formulă se numește „proprietatea gradului de logaritm”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate naturale. Să ne uităm la dovada.
Fie log a b = t, se dovedește a t =b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a tn = b n ;
dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n, prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.
Exemple de probleme și inegalități
Cele mai comune tipuri de probleme pe logaritmi sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt, de asemenea, o parte obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece examenele de admitere la matematică, trebuie să știi cum să rezolvi corect astfel de sarcini.
Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem repede.
Când rezolvăm ecuații logaritmice, trebuie să stabilim ce tip de logaritm avem: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.
Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determine puterea la care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru a rezolva logaritmii naturali, trebuie să aplicați identități logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.
Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții
Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor de bază despre logaritmi.
- Proprietatea logaritmului unui produs poate fi utilizată în sarcini în care este necesară descompunerea unei valori mari a numărului b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a puterii logaritmului, am reușit să rezolvăm o expresie aparent complexă și de nerezolvat. Trebuie doar să factorizați baza și apoi să eliminați valorile exponentului din semnul logaritmului.
Teme de la examenul de stat unificat
Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special multe probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai complexe și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită cunoașterea exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.
Exemplele și soluțiile la probleme sunt preluate din oficial Opțiuni pentru examenul de stat unificat. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.
Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.
- Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
- Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca fiind pozitive, prin urmare, atunci când exponentul unei expresii care se află sub semnul logaritmului și ca bază a acesteia este scos ca multiplicator, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.
Logaritm număr pozitiv b bazat pe A (A > 0, A≠ 1) se numește un astfel de exponent c, la care trebuie crescut numărul A pentru a obține numărul b .
Scrie: Cu = log a b , care înseamnă a c = b .
Din definiția logaritmului rezultă că egalitatea este adevărată:
A log a b = b, (A> 0, b > 0, A≠ 1),
numit identitate logaritmică de bază.
În înregistrare log a b număr A - baza logaritmului, b - număr logaritmic.
Următoarele egalități importante rezultă din definiția logaritmilor:
log a 1 = 0,
log a = 1.
Prima rezultă din faptul că A 0 = 1, iar al doilea este din faptul că A 1 = A. În general există egalitate
log a a r = r .
Proprietățile logaritmilor
Pentru numere reale pozitive A (A ≠ 1), b , c sunt valabile urmatoarele relatii:
log a( b c) = log a b + loga c
log a(b ⁄ c) = log a b - log a c
log a b p= p log a b
log a q b = 1 / q log a b
log a q b p = p / q log a b
log a pr b ps= log a r b s
log a b= log c b⁄ log c a( c≠ 1)
log a b= 1 ⁄ log b a( b≠ 1)
log a b log b c= log a c
c log a b= b log a c
Nota 1. Dacă A > 0, A≠ 1, numere bȘi c sunt diferite de 0 și au aceleași semne, atunci
log a(b c) = log a|b| + log a|c|
log a(b ⁄ c) = loga|b |- jurnal a|c | .
Observaţia 2. Dacă pȘiq- numere pare, A > 0, A≠ 1 și b≠ 0, atunci
log a b p= p log a|b |
log a pr b ps= log a r |b s |
log a q b p = p/
q jurnal a|b
| .
Pentru orice numere pozitive, altele decât 1 AȘi b dreapta:
log a b> 0 dacă și numai dacă A> 1 și b> 1 sau 0< A < 1 и 0 < b < 1;
log a b < 0 тогда и только тогда, когда A > 0 și 0< b < 1 или 0 < A < 1 и b > 1.
Logaritm zecimal
Logaritm zecimal se numește logaritm a cărui bază este 10.
Indicat prin simbol lg:
Buturuga 10 b= buștean b.
Înainte de inventarea calculatoarelor electronice compacte în anii 70 ai secolului trecut, logaritmii zecimali erau folosiți pe scară largă pentru calcule. La fel ca orice alți logaritmi, au făcut posibilă simplificarea și facilitarea calculelor intensive în muncă, înlocuind înmulțirea cu adunarea și împărțirea cu scăderea; Exponentiația și extracția rădăcinilor au fost simplificate în mod similar.
Primele tabele de logaritmi zecimale au fost publicate în 1617 de profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs pentru numere de la 1 la 1000, cu opt (mai târziu paisprezece) cifre. Prin urmare, în străinătate, se numesc adesea logaritmi zecimal Briggsian.
În literatura străină, precum și pe tastaturile calculatoarelor, există și alte notații pentru logaritmul zecimal: Buturuga, Buturuga , Buturuga10 , și trebuie avut în vedere că primele două opțiuni se pot aplica și logaritmului natural.
Tabel cu logaritmi zecimali ai numerelor întregi de la 0 la 99
| Zeci | Unități | |||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0 | - | 0 | 0,30103 | 0,47712 | 0,60206 | 0,69897 | 0,77815 | 0,84510 | 0,90309 | 0,95424 |
| 1 | 1 | 1,04139 | 1,07918 | 1,11394 | 1,14613 | 1,17609 | 1,20412 | 1,23045 | 1,25527 | 1,27875 |
| 2 | 1,30103 | 1,32222 | 1,34242 | 1,36173 | 1,38021 | 1,39794 | 1,41497 | 1,43136 | 1,44716 | 1,46240 |
| 3 | 1,47712 | 1,49136 | 1,50515 | 1,51851 | 1,53148 | 1,54407 | 1,55630 | 1,56820 | 1,57978 | 1,59106 |
| 4 | 1,60206 | 1,61278 | 1,62325 | 1,63347 | 1,64345 | 1,65321 | 1,66276 | 1,67210 | 1,68124 | 1,69020 |
| 5 | 1,69897 | 1,70757 | 1,71600 | 1,72428 | 1,73239 | 1,74036 | 1,74819 | 1,75587 | 1,76343 | 1,77085 |
| 6 | 1,77815 | 1,78533 | 1,79239 | 1,79934 | 1,80618 | 1,81291 | 1,81954 | 1,82607 | 1,83251 | 1,83885 |
| 7 | 1,84510 | 1,85126 | 1,85733 | 1,86332 | 1,86923 | 1,87506 | 1,88081 | 1,88649 | 1,89209 | 1,89763 |
| 8 | 1,90309 | 1,90849 | 1,91381 | 1,91908 | 1,92428 | 1,92942 | 1,93450 | 1,93952 | 1,94448 | 1,94939 |
| 9 | 1,95424 | 1,95904 | 1,96379 | 1,96848 | 1,97313 | 1,97772 | 1,98227 | 1,98677 | 1,99123 | 1,99564 |
Logaritmul natural
Logaritmul natural se numește logaritm a cărui bază este egală cu numărul e, o constantă matematică care este un număr irațional către care tinde șirul
si n = (1 + 1/n)n la n → +∞ .
Uneori numărul e numit numărul Euler sau Numărul Napier. Semnificația numărului e cu primele cincisprezece cifre după virgulă zecimală este următoarea:
e = 2,718281828459045... .
Logaritmul natural este indicat prin simbol ln :
log e b= ln b.
Logaritmii naturali sunt cei mai convenabil atunci când se efectuează diferite tipuri de operații legate de analiza funcțiilor.
Tabelul logaritmilor naturali ai numerelor întregi de la 0 la 99
| Zeci | Unități | |||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0 | - | 0 | 0,69315 | 1,09861 | 1,38629 | 1,60944 | 1,79176 | 1,94591 | 2,07944 | 2,19722 |
| 1 | 2,30259 | 2,39790 | 2,48491 | 2,56495 | 2,63906 | 2,70805 | 2,77259 | 2,83321 | 2,89037 | 2,94444 |
| 2 | 2,99573 | 3,04452 | 3,09104 | 3,13549 | 3,17805 | 3,21888 | 3,25810 | 3,29584 | 3,33220 | 3,36730 |
| 3 | 3,40120 | 3,43399 | 3,46574 | 3,49651 | 3,52636 | 3,55535 | 3,58352 | 3,61092 | 3,63759 | 3,66356 |
| 4 | 3,68888 | 3,71357 | 3,73767 | 3,76120 | 3,78419 | 3,80666 | 3,82864 | 3,85015 | 3,87120 | 3,89182 |
| 5 | 3,91202 | 3,93183 | 3,95124 | 3,97029 | 3,98898 | 4,00733 | 4,02535 | 4,04305 | 4,06044 | 4,07754 |
| 6 | 4,09434 | 4,11087 | 4,12713 | 4,14313 | 4,15888 | 4,17439 | 4,18965 | 4,20469 | 4,21951 | 4,23411 |
| 7 | 4,24850 | 4,26268 | 4,27667 | 4,29046 | 4,30407 | 4,31749 | 4,33073 | 4,34381 | 4,35671 | 4,36945 |
| 8 | 4,38203 | 4,39445 | 4,40672 | 4,41884 | 4,43082 | 4,44265 | 4,45435 | 4,46591 | 4,47734 | 4,48864 |
| 9 | 4,49981 | 4,51086 | 4,52179 | 4,5326 | 4,54329 | 4,55388 | 4,56435 | 4,57471 | 4,58497 | 4,59512 |
Formule de conversie din logaritm zecimal în logaritm natural și invers
Deoarece lg e = 1 / ln 10 ≈ 0,4343, atunci buștean b≈ 0,4343 ln b;
deoarece ln 10 = 1 / lg e≈ 2,3026, atunci ln b≈ 2,3026 lg b.
Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv este nedefinit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv care nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că logaritmul la baza -2 din 4 este egal cu 2.
Identitatea logaritmică de bază
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Este important ca domeniul de aplicare al definiției părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferit. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definită pentru orice b și nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DO.
Două consecințe evidente ale definiției logaritmului
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.
Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Aș dori să îi avertizez pe școlari să nu folosească fără gânduri aceste formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când le folosiți „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.
Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.
Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x), suntem forțați să ne limităm doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori acceptabile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).
Gradul poate fi scos din semnul logaritmului
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând gradul din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori acceptabile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii 2, ci și oricărei puteri egale.
Formula pentru trecerea la o nouă fundație
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul transformării. Dacă ați ales baza c cu înțelepciune (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este complet sigură.
Dacă alegem numărul b ca nouă bază c, obținem un caz special important de formula (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Câteva exemple simple cu logaritmi
Exemplul 1. Calculați: log2 + log50.
Soluţie. log2 + log50 = log100 = 2. Am folosit formula sumei logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.
Exemplul 2. Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază (8).
Tabel de formule legate de logaritmi
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
(din greacă λόγος - „cuvânt”, „relație” și ἀριθμός - „număr”) numere b bazat pe A(log α b) se numește un astfel de număr c, Și b= a c, adică înregistrează log α b=cȘi b=ac sunt echivalente. Logaritmul are sens dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Cu alte cuvinte logaritm numere b bazat pe A formulat ca un exponent la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).
Din această formulare rezultă că calculul x= log α b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b.
De exemplu:
log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 .
Să subliniem că formularea indicată a logaritmului face posibilă determinarea imediată valoarea logaritmului, când numărul de sub semnul logaritmului acționează ca o anumită putere a bazei. Într-adevăr, formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe A egală Cu. De asemenea, este clar că tema logaritmilor este strâns legată de subiect puterile unui număr.
Calcularea logaritmului se numește logaritm. Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Atunci când se iau logaritmi, produsele factorilor sunt transformate în sume de termeni.
Potentarea este operația matematică inversă a logaritmului. În timpul potențarii, o bază dată este ridicată la gradul de expresie peste care se realizează potențarea. În acest caz, sumele de termeni sunt transformate într-un produs de factori.
Destul de des, logaritmii reali sunt folosiți cu bazele 2 (binare), numărul lui Euler e ≈ 2,718 (logaritmul natural) și 10 (zecimal).
În această etapă este indicat să luați în considerare probe de logaritm jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
Iar intrările lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nu au sens, deoarece în primul dintre ele este plasat un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea există un număr negativ în bază, iar în a treia există un număr negativ sub semnul logaritmului și unitatea la bază.
Condiții pentru determinarea logaritmului.
Merită să luăm în considerare separat condițiile a > 0, a ≠ 1, b > 0. în care obținem definiția logaritmului. Să ne gândim de ce au fost luate aceste restricții. O egalitate de forma x = log α ne va ajuta în acest sens b, numită identitate logaritmică de bază, care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.
Să luăm condiția a≠1. Deoarece unu la orice putere este egal cu unu, atunci egalitatea x=log α b poate exista doar atunci când b=1, dar log 1 1 va fi orice număr real. Pentru a elimina această ambiguitate, luăm a≠1.
Să demonstrăm necesitatea condiției a>0. La a=0 conform formulării logaritmului poate exista numai atunci când b=0. Și în consecință atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Această ambiguitate poate fi eliminată prin condiție a≠0. Și atunci când A<0 ar trebui să respingem analiza valorilor raționale și iraționale ale logaritmului, deoarece un grad cu un exponent rațional și irațional este definit doar pentru baze nenegative. Din acest motiv este stipulată condiția a>0.
Și ultima condiție b>0 rezultă din inegalitate a>0, deoarece x=log α b, și valoarea gradului cu bază pozitivă A intotdeauna pozitiv.
Caracteristicile logaritmilor.
Logaritmi caracterizat prin distinctiv Caracteristici, ceea ce a dus la utilizarea lor pe scară largă pentru a facilita în mod semnificativ calculele minuțioase. Când treceți „în lumea logaritmilor”, înmulțirea este transformată într-o adunare mult mai ușoară, împărțirea este transformată în scădere, iar exponențiația și extragerea rădăcinii sunt transformate, respectiv, în înmulțire și împărțire cu exponent.
Formularea logaritmilor și un tabel al valorilor acestora (pentru funcțiile trigonometrice) a fost publicată pentru prima dată în 1614 de matematicianul scoțian John Napier. Tabelele logaritmice, mărite și detaliate de alți oameni de știință, au fost utilizate pe scară largă în calculele științifice și de inginerie și au rămas relevante până la utilizarea calculatoarelor electronice și a calculatoarelor.
Logaritm număr pozitiv N la bază(b> 0, b 1 ) numit exponent X , la care trebuie să construiți b pentru a obține N .
Notație logaritmică:
Această intrare este echivalentă cu următoarele:b x = N .
EXEMPLE: jurnalul 3 81 = 4, deoarece 3 4 = 81;
Jurnal 1/3 27 = – 3, deoarece (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
Definiția de mai sus a logaritmului poate fi scrisă ca o identitate:
Proprietățile de bază ale logaritmilor.
1) Buturuga b= 1 , deoarece b 1 = b.
b
2) jurnal 1 = 0 , deoarece b 0 = 1 .
b
3) Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor:
Buturuga( ab) = jurnal A+ jurnal b.
4) Logaritmul coeficientului este egal cu diferența dintre logaritmii dividendului și divizorului:
Buturuga( A/b) = jurnal A-Buturuga b.
5) Logaritmul unei puteri este egal cu produsul dintre exponent și logaritmul bazei sale:
Buturuga (b k ) = k Buturuga b.
Consecința acestei proprietăți este următoarea:logaritmul rădăcinii egal cu logaritmul numărului radical împărțit la puterea rădăcinii:
6) Dacă baza logaritmului este un grad, atunci valoarea inversul exponentului, poate fi scos din semnul log rima:
Ultimele două proprietăți pot fi combinate într-una singură:
7) Formula modulului de tranziție (de ex. e . trecerea de la o bazălogaritm la o altă bază):
În cazul special când N=a avem:
Logaritm zecimal numit logaritm de bază 10. Este desemnat lg, adică jurnalul 10 N = lg N. Logaritmii numerelor 10, 100, 1000, ... p numerele sunt 1, 2, 3, ..., respectivacestea. au atât de multe pozitive
unități, câte zerouri sunt într-un număr logaritmic după unu. Logaritmii numerelor 0,1, 0,01, 0,001, ... p avna respectiv –1, –2, –3, …, adică au atâtea negative câte zerouri sunt înaintea unu în numărul logaritmic ( numărare și zero numere întregi). Logaritmi alte numere au o parte fracționară numită mantisa. Întrego parte a logaritmului se numește caracteristică. Pentru utilizare practicăLogaritmii zecimali sunt cele mai convenabile.
Logaritmul natural
numit logaritm de bază
e. Este desemnat ln, adică Buturuga eN
=
ln N. Număr eeste irațional, astavaloare aproximativă 2,718281828. Aceasta este limita la care tinde numărul(1 + 1
/
n)
n cu spor nelimitatn(cm. prima limită minunată ).
Oricât de ciudat ar părea, logaritmii naturali s-au dovedit a fi foarte convenabil atunci când se efectuează diferite tipuri de operații legate de analiza funcțiilor.Calcularea logaritmilor la bazăerealizat mult mai repede decât din orice alt motiv.
