Trigonometrie triunghi dreptunghic. Formule triunghiulare

Astăzi ne vom uita la problemele B8 cu trigonometrie în sensul său clasic, unde este de obicei triunghiuri dreptunghiulare. Prin urmare nu cercuri trigonometriceși nu vor exista unghiuri negative astăzi - doar sinusuri și cosinusuri obișnuite.

Astfel de sarcini reprezintă aproximativ 30% din total. Amintiți-vă: dacă problema B8 menționează chiar unghiul π, se rezolvă în moduri complet diferite. Cu siguranță ne vom uita la ele în curând. Și acum - definiția principală a lecției:

Un triunghi este o figură dintr-un plan format din trei puncte și segmentele care le unesc. De fapt, aceasta este o polilinie închisă de trei legături. Punctele sunt numite vârfuri ale triunghiului, iar segmentele sunt numite laturi. Este important de reținut că vârfurile nu trebuie să se afle pe aceeași linie, altfel triunghiul degenerează într-un segment.

Destul de des, un triunghi este numit nu numai linia întreruptă în sine, ci și partea din plan care este limitată de această linie întreruptă. În acest fel, puteți determina aria triunghiului.

Două triunghiuri se numesc egale dacă unul poate fi obținut din celălalt printr-una sau mai multe mișcări ale planului: translație, rotație sau simetrie. În plus, există conceptul de triunghiuri similare: unghiurile lor sunt egale și laturile corespunzătoare sunt proporționale...

Acesta este triunghiul ABC. Mai mult, este un triunghi dreptunghic: în el ∠C = 90°. Acestea sunt cele care sunt cel mai des întâlnite în problema B8.

Tot ce trebuie să știți pentru a rezolva problema B8 sunt câteva fapte simple din geometrie și trigonometrie și o schemă generală de soluții care utilizează aceste fapte. Atunci este doar o chestiune de „găsește-ți mâna”.

Să începem cu faptele. Ele sunt împărțite în trei grupe:

Definiții și consecințe din acestea;
Identități de bază;
Simetrii într-un triunghi.

Nu se poate spune că oricare dintre aceste grupuri este mai importantă, mai complexă sau mai simplă. Dar informațiile pe care le conțin vă permit să decideți orice sarcină B8. Prin urmare, trebuie să știți totul. Deci să mergem!

Grupa 1: definiții și consecințe din acestea

Luați în considerare triunghiul ABC, unde ∠C este o dreaptă. În primul rând, câteva definiții:

Sinusul unui unghi este raportul dintre latura opusă ipotenuzei.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Un unghi sau un segment se poate încadra în diferite triunghiuri dreptunghiulare. Mai mult, de foarte multe ori același segment este un catet într-un triunghi și o ipotenuză într-un altul. Dar mai multe despre asta mai târziu, deocamdată vom lucra cu unghiul obișnuit A. Apoi:

sin A = BC : AB ;
cos A = AC : AB ;
tan A = BC : AC .

Principalele consecințe ale definiției:

sin A = cos B ; cos A = sin B - consecințele cele mai frecvent utilizate
tg A = sin A : cos A - leagă tangenta, sinusul și cosinusul unui unghi
Dacă ∠A + ∠B = 180°, adică. unghiurile sunt adiacente, atunci: sin A = sin B; cos A = −cos B .

Credeți sau nu, aceste fapte sunt suficiente pentru a rezolva aproximativ o treime din toate problemele de trigonometrie B8.

Grupa 2: identități de bază

Prima și cea mai importantă identitate este teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. În raport cu triunghiul ABC, discutat mai sus, această teoremă poate fi scrisă după cum urmează:

AC 2 + BC 2 = AB 2

Și imediat - o mică notă care va salva cititorul de multe greșeli. Când rezolvați o problemă, scrieți întotdeauna (auzi, mereu!) teorema lui Pitagora exact în această formă. Nu încercați să exprimați imediat piciorul, așa cum este de obicei necesar. Ați putea salva o linie sau două de calcule, dar s-au pierdut mai multe puncte din acele „economii” decât oriunde altundeva în geometrie.

A doua identitate este din trigonometrie. După cum urmează:

sin 2 A + cos 2 A = 1

Așa se numește: identitatea trigonometrică de bază. Cu ajutorul lui, puteți exprima cosinus prin sinus și invers.

Grupa 3: Simetrii în triunghi

Ceea ce este scris mai jos se aplică numai triunghiurilor isoscele. Dacă nu apare vreuna în problemă, atunci faptele din primele două grupuri sunt suficiente pentru a fi rezolvate.

Deci, considerăm un triunghi isoscel ABC, unde AC = BC. Să desenăm înălțimea CH la bază. Obținem următoarele fapte:

∠A = ∠B. Ca urmare, sin A = sin B; cos A = cos B ; tan A = tan B .
CH nu este doar înălțimea, ci și bisectoarea, adică. ∠ACH = ∠BCH. La fel, funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri sunt egale.
De asemenea, CH este mediana, deci AH = BH = 0,5 · AB.

Acum că toate faptele au fost luate în considerare, să trecem direct la metodele de rezolvare.

Schema generală de rezolvare a problemei B8

Geometria diferă de algebră prin faptul că nu are algoritmi simpli și universali. Fiecare problemă trebuie rezolvată de la zero - și aceasta este dificultatea ei. Cu toate acestea, recomandări generale pot fi date.

Pentru început, ar trebui să desemnați partea necunoscută (dacă există una) ca X. Apoi aplicăm schema de soluții, care constă din trei puncte:

Dacă problema conține un triunghi isoscel, aplicați-i toate faptele posibile din grupa a treia. Găsiți unghiuri egale și exprimați funcțiile lor trigonometrice. În plus, un triunghi isoscel este rareori un triunghi dreptunghic. Prin urmare, căutați triunghiuri dreptunghiulare în problemă - cu siguranță sunt acolo.
Aplicați faptele din primul grup la un triunghi dreptunghic. Scopul final este de a obține o ecuație pentru variabila X. Găsiți X și rezolvați problema.
Dacă faptele din primul grup nu au fost suficiente, folosim faptele din a doua grupă. Și din nou îl căutăm pe X.

Exemple de rezolvare a problemelor

Acum să încercăm să rezolvăm cele mai comune probleme B8 cu ajutorul cunoștințelor dobândite. Nu fi surprins că, cu un astfel de arsenal, textul soluției nu va fi cu mult mai lung decât starea inițială. Si ii place :)

Sarcină. În triunghiul ABC, unghiul C este de 90°, AB = 5, BC = 3. Aflați cos A.

Prin definiție (grupa 1), cos A = AC : AB . Cunoaștem ipotenuza AB, dar va trebui să căutăm catetul AC. Să o notăm AC = x.

Să trecem la grupa 2. Triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:

AC 2 + BC 2 = AB 2;
x 2 + 3 2 = 5 2 ;
x 2 = 25 − 9 = 16;
x = 4.

Acum puteți găsi cosinusul:

cos A = AC: AB = 4: 5 = 0,8.

Sarcină. În triunghiul ABC, unghiul B este de 90°, cos A = 4/5, BC = 3. BH este înălțimea. Găsiți AH.

Să notăm latura dorită AH = x și să considerăm triunghiul ABH. Este dreptunghiular, iar ∠AHB = 90° conform condiției. Prin urmare cos A = AH : AB = x : AB = 4/5. Aceasta este o proporție, poate fi rescrisă astfel: 5 x = 4 AB. Evident, vom găsi x dacă știm AB.

Luați în considerare triunghiul ABC. De asemenea, este dreptunghiulară, cu cos A = AB: AC. Nici AB, nici AC nu ne sunt cunoscute, așa că trecem la al doilea grup de fapte. Să notăm principala identitate trigonometrică:

sin 2 A + cos 2 A = 1;
sin 2 A = 1 − cos 2 A = 1 − (4/5) 2 = 1 − 16/25 = 9/25.

Deoarece funcţiile trigonometrice unghi ascutit sunt pozitive, obținem sin A = 3/5. Pe de altă parte, sin A = BC : AC = 3: AC . Obținem proporția:

3:AC=3:5;
3 AC = 3 5;
AC = 5.

Deci, AC = 5. Atunci AB = AC · cos A = 5 · 4/5 = 4. În cele din urmă, găsim AH = x:

5 x = 4 4;
x = 16/5 = 3,2.

Sarcină. În triunghiul ABC AB = BC, AC = 5, cos C = 0,8. Aflați înălțimea CH.

Să notăm înălțimea dorită CH = x. În fața noastră este un triunghi isoscel ABC, în care AB = BC. Prin urmare, din al treilea grup de fapte avem:

∠A = ∠C ⇒ cos A = cos C = 0,8

Luați în considerare triunghiul ACH. Este dreptunghiulară (∠H = 90°), cu AC = 5 și cos A = 0,8. Prin definiție, cos A = AH : AC = AH : 5. Se obține proporția:

AH:5 = 8:10;
10 AH = 5 8;
AH = 40: 10 = 4.

Rămâne să folosim al doilea grup de fapte, și anume teorema lui Pitagora pentru triunghiul ACH:

AH2 + CH2 = AC2;
4 2 + x 2 = 5 2 ;
x 2 = 25 − 16 = 9;
x = 3.

Sarcină. În triunghiul dreptunghic ABC ∠B = 90°, AB = 32, AC = 40. Aflați sinusul unghiului CAD.

Deoarece cunoaștem ipotenuza AC = 40 și catetul AB = 32, putem găsi cosinusul unghiului A: cos A = AB: AC = 32: 40 = 0,8. Acesta a fost un fapt din primul grup.

Cunoscând cosinusul, puteți găsi sinusul prin identitatea trigonometrică principală (fapt din a doua grupă):

sin 2 A + cos 2 A = 1;
sin 2 A = 1 − cos 2 A = 1 − 0,8 2 = 0,36;
sin A = 0,6.

La găsirea sinusului, am folosit din nou faptul că funcțiile trigonometrice ale unui unghi ascuțit sunt pozitive. Rămâne de menționat că unghiurile BAC și CAD sunt adiacente. Din primul grup de fapte avem:

∠BAC + ∠CAD = 180°;
sin CAD = sin BAC = sin A = 0,6.

Sarcină. În triunghiul ABC AC = BC = 5, AB = 8, CH este înălțimea. Găsiți tan A.

Triunghiul ABC este isoscel, CH este altitudinea, deci observăm că AH = BH = 0,5 · AB = 0,5 · 8 = 4. Acesta este un fapt din a treia grupă.

Acum luați în considerare triunghiul ACH: în el ∠AHC = 90°. Puteți exprima tangenta: tan A = CH: AH. Dar AH = 4, deci rămâne de găsit latura CH, pe care o notăm CH = x. Conform teoremei lui Pitagora (fapt din grupa 2) avem:

AH2 + CH2 = AC2;
4 2 + x 2 = 5 2 ;
x 2 = 25 − 16 = 9;
x = 3.

Acum totul este gata pentru a găsi tangenta: tan A = CH : AH = 3: 4 = 0,75.

Sarcină. În triunghiul ABC AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Aflați înălțimea AH.

Să notăm înălțimea dorită AH = x. Din nou triunghiul ABC este un triunghi isoscel, deci rețineți că ∠A = ∠B, prin urmare cos B = cos A = 3/5. Acesta este un fapt din al treilea grup.

Luați în considerare triunghiul ABH. După condiție, este dreptunghiulară (∠AHB = 90°), iar ipotenuza AB = 6 și cos B = 3/5 sunt cunoscute. Dar cos B = BH : AB = BH : 6 = 3/5. Am obtinut proportia:

BH: 6 = 3: 5;
5BH = 63;
BH = 18/5 = 3,6.

Acum să găsim AH = x folosind teorema lui Pitagora pentru triunghiul ABH:

AH2 + BH2 = AB2;
x 2 + 3,6 2 = 6 2 ;
x 2 = 36 − 12,96 = 23,04;
x = 4,8.

Considerații suplimentare

Există probleme non-standard în care faptele și diagramele discutate mai sus sunt inutile. Din păcate, în acest caz aveți nevoie de o abordare cu adevărat individuală. Le place să dea probleme similare în tot felul de examene „de probă” și „demonstrație”.

Mai jos sunt două probleme reale care au fost propuse la examenul de stat unificat de la Moscova. Doar câțiva le-au finalizat, ceea ce indică complexitatea ridicată a acestor sarcini.

Sarcină. Într-un triunghi dreptunghic ABC, mediana și altitudinea sunt trase din unghiul C = 90°. Se știe că ∠A = 23°. Găsiți ∠MCH.

Rețineți că mediana CM este atrasă de ipotenuza AB, prin urmare M este centrul cercului circumferitor, adică. AM = BM = CM = R, unde R este raza cercului circumscris. Prin urmare, triunghiul ACM este isoscel și ∠ACM = ∠CAM = 23°.

Acum luați în considerare triunghiurile ABC și CBH. Prin convenție, ambele triunghiuri sunt dreptunghiulare. Mai mult, ∠B este generală. Prin urmare, triunghiurile ABC și CBH sunt similare în două unghiuri.

În triunghiuri similare, elementele corespunzătoare sunt proporționale. În special:

BCH = BAC = 23°

În cele din urmă, luați în considerare ∠C. Este directă și, în plus, ∠C = ∠ACM + ∠MCH + ∠BCH. În această egalitate, ∠MCH este cea dorită, iar ∠ACM și ∠BCH sunt cunoscute și egale cu 23°. Avem:

90° = 23° + MCH + 23°;
MCH = 90° − 23° − 23° = 44°.

Sarcină. Perimetrul dreptunghiului este 34 și aria este 60. Aflați diagonala acestui dreptunghi.

Să notăm laturile dreptunghiului: AB = x, BC = y. Să exprimăm perimetrul:

P ABCD = 2 · (AB + BC) = 2 · (x + y) = 34;
x + y = 17.

Să exprimăm aria într-un mod similar: S ABCD = AB · BC = x · y = 60.

Acum luați în considerare triunghiul ABC. Este dreptunghiulară, așa că scriem teorema lui Pitagora:

AB 2 + BC 2 = AC 2;
AC 2 = x 2 + y 2.

Rețineți că formula pentru diferența pătrată implică următoarea egalitate:

x 2 + y 2 = (x + y ) 2 − 2 x y = 17 2 − 2 60 = 289 − 120 = 169

Deci AC 2 = 169, deci AC = 13.

Un triunghi are o proprietate remarcabilă - este o figură rigidă, adică. Dacă lungimea laturilor este constantă, forma triunghiului nu poate fi schimbată. Această proprietate a triunghiului îl face indispensabil în tehnologie și construcție. Elementele structurale în formă de triunghi își păstrează forma, spre deosebire, de exemplu, de elementele în formă de pătrat sau paralelogram. În plus, un triunghi este cel mai simplu poligon și orice poligon poate fi reprezentat ca un set de triunghiuri.

Proprietățile de bază și formulele unui triunghi

Denumiri:
A, B, C sunt unghiurile triunghiului,
a, b, c - laturi opuse,
R este raza cercului circumscris,
r este raza cercului înscris,
p - semi-perimetru, (a + b + c) / 2,
S este aria triunghiului.

Laturile unui triunghi sunt legate prin următoarele inegalități
a ≤ b + c
b ≤ a + c
c ≤ a + b
Dacă egalitatea este valabilă într-una dintre ele, triunghiul se numește degenerat. În cele ce urmează, se presupune un caz nedegenerat.

Un triunghi poate fi determinat în mod unic (până la deplasare și rotație) prin următoarele triplete de elemente de bază:
a, b, c - pe trei laturi;
a, b, C - pe două laturi și unghiul dintre ele;
a, B, C - de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente.

Suma unghiurilor oricărui triunghi este constantă
A + B + C = 180°

1. Triunghi dreptunghic. Definiţia funcţiilor trigonometrice.

Luați în considerare triunghiul dreptunghic prezentat în figură.

Unghiul B = 90° (drept).
Funcția sinus: sin(A) = a/b.
Funcția cosinus: cos(A) = c/b .
Funcția tangentă: tan(A) = a/c.
Funcția cotangentă: ctg(A) = c/a.

2. Triunghi dreptunghic. Formule trigonometrice.

a = b * sin(A)
c = b * cos(A)
a = c * tan(A)

Vezi si:

Teorema lui Pitagora - câteva dovezi simple ale teoremei.

3. Triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora.

b 2 = a 2 + c 2
Folosind teorema lui Pitagora, puteți construi un unghi drept dacă nu aveți instrumente adecvate la îndemână, de exemplu, un pătrat. Folosind două rigle sau două bucăți de frânghie, măsurăm picioare de lungime 3 și 4. Apoi le deplasăm sau le depărtăm până când lungimea ipotenuzei devine egală cu 5 (3 2 + 4 2 = 5 2).

Pe pagina Teorema lui Pitagora există câteva dovezi simple ale teoremei.

Să începem să învățăm trigonometria cu un triunghi dreptunghic. Să definim ce sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.

Să ne amintim asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate de unghi rotit.

Colt ascutit- sub 90 de grade.

Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „obtuz” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)

Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat cu . Vă rugăm să rețineți că latura opusă colțului este indicată de aceeași literă, doar mică. Astfel, latura opusă unghiului A este desemnată .

Unghiul este notat cu litera greacă corespunzătoare.

Ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.

Picioarele- laturile situate opuse unghiurilor ascuțite.

Piciorul situat opus unghiului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe una dintre laturile unghiului, se numește adiacent.

Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:

Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:

Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:

O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:

Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura adiacentă și opusul (sau, ceea ce este același, raportul dintre cosinus și sinus):

Observați mai jos relațiile de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ne vor fi de folos atunci când rezolvăm probleme.

Să demonstrăm unele dintre ele.

Avem identitate trigonometrică de bază.

De asemenea,

De ce mai avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?

Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu .

Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .

Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Aceasta înseamnă că unghiurile au propriul raport, iar laturile au propriul lor raport. Dar ce ar trebui să faci dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi (cu excepția unghiului drept) și o latură, dar trebuie să găsești celelalte laturi?

Aceasta este ceea ce oamenii în trecut au întâlnit când făceau hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.

Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcții unghiulare trigonometrice- da relatii intre petreceriȘi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.

Tabel de valori ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile „bune” de la până la.

Vă rugăm să rețineți cele două linii roșii din tabel. La valorile unghiulare adecvate, tangenta și cotangenta nu există.

Mai simplu spus, acestea sunt legume fierte în apă după o rețetă specială. Voi lua în considerare două componente inițiale (salata de legume și apă) și rezultatul final - borș. Din punct de vedere geometric, poate fi gândit ca un dreptunghi, cu o parte reprezentând salata verde, iar cealaltă reprezentând apa. Suma acestor două laturi va indica borș. Diagonala și aria unui astfel de dreptunghi „borș” sunt concepte pur matematice și nu sunt niciodată folosite în rețetele de borș.

Cum se transformă salata verde și apa în borș din punct de vedere matematic? Cum poate suma a două segmente de linie să devină trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții unghiulare liniare.

Nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiulare liniare în manualele de matematică. Dar fără ele nu poate exista matematică. Legile matematicii, ca și legile naturii, funcționează indiferent dacă știm despre existența lor sau nu.

Funcțiile unghiulare liniare sunt legi de adunare. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie și geometria se transformă în trigonometrie.

Este posibil să faci fără funcții unghiulare liniare? Este posibil, pentru că matematicienii încă se descurcă fără ei. Trucul matematicienilor este că ei ne vorbesc întotdeauna doar despre acele probleme pe care ei înșiși știu să le rezolve și nu vorbesc niciodată despre acele probleme pe care nu le pot rezolva. Uite. Dacă știm rezultatul adunării și al unui termen, folosim scăderea pentru a găsi celălalt termen. Toate. Nu cunoaștem alte probleme și nu știm cum să le rezolvăm. Ce ar trebui să facem dacă știm doar rezultatul adunării și nu știm ambii termeni? În acest caz, rezultatul adunării trebuie descompus în doi termeni folosind funcții unghiulare liniare. Apoi, alegem noi înșine ce poate fi un termen, iar funcțiile unghiulare liniare arată care ar trebui să fie al doilea termen, astfel încât rezultatul adunării să fie exact ceea ce avem nevoie. Pot exista un număr infinit de astfel de perechi de termeni. În viața de zi cu zi, ne înțelegem bine fără să descompunem suma este suficientă. Dar cand cercetare științifică legile naturii, descompunerea unei sume în componentele sale poate fi foarte utilă.

O altă lege a adunării despre care matematicienii nu le place să vorbească (un alt truc al lor) cere ca termenii să aibă aceleași unități de măsură. Pentru salată, apă și borș, acestea pot fi unități de greutate, volum, valoare sau unitate de măsură.

Figura arată două niveluri de diferență pentru matematică. Primul nivel este diferențele în domeniul numerelor, care sunt indicate A, b, c. Asta fac matematicienii. Al doilea nivel este diferențele în domeniul unităților de măsură, care sunt afișate între paranteze drepte și indicate prin litera U. Asta fac fizicienii. Putem înțelege al treilea nivel - diferențele în zona obiectelor descrise. Obiecte diferite pot avea același număr de unități de măsură identice. Cât de important este acest lucru, putem vedea în exemplul trigonometriei borș. Dacă adăugăm indice la aceeași denumire de unitate pentru diferite obiecte, putem spune exact ce cantitate matematică descrie un anumit obiect și cum se schimbă în timp sau datorită acțiunilor noastre. Scrisoare W Voi desemna apa cu o scrisoare S Voi desemna salata cu o scrisoare B- borș. Așa vor arăta funcțiile unghiulare liniare pentru borș.

Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o porție de borș. Aici vă sugerez să faceți o mică pauză de la borș și să vă amintiți de copilăria voastră îndepărtată. Îți amintești cum am fost învățați să punem iepurași și rațe împreună? Era necesar să se găsească câte animale vor fi. Ce am fost învățați să facem atunci? Am fost învățați să separăm unitățile de măsură de numere și să adunăm numere. Da, orice număr poate fi adăugat oricărui alt număr. Aceasta este o cale directă către autismul matematicii moderne - o facem de neînțeles ce, de neînțeles de ce și înțelegem foarte prost cum se raportează asta la realitate, din cauza celor trei niveluri de diferență, matematicienii operează doar cu unul. Ar fi mai corect să înveți cum să treci de la o unitate de măsură la alta.

Iepurașii, rațele și animalele mici pot fi numărate în bucăți. O unitate de măsură comună pentru diferite obiecte ne permite să le adunăm împreună. Aceasta este o versiune a problemei pentru copii. Să ne uităm la o problemă similară pentru adulți. Ce obții când adaugi iepurași și bani? Aici putem oferi două soluții.

Prima varianta. Determinăm valoarea de piață a iepurașilor și o adăugăm la suma de bani disponibilă. Am primit valoarea totală a averii noastre în termeni monetari.

A doua varianta. Puteți adăuga numărul de iepurași la numărul de bancnote pe care le avem. Vom primi suma bunurilor mobile pe bucăți.

După cum puteți vedea, aceeași lege de adunare vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de exact ce vrem să știm.

Dar să revenim la borșul nostru. Acum putem vedea ce se va întâmpla cu diferite valori unghiulare ale funcțiilor unghiulare liniare.

Unghiul este zero. Avem salată, dar fără apă. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este, de asemenea, zero. Asta nu înseamnă deloc că zero borș este egal cu zero apă. Poate fi zero borș cu zero salată (unghi drept).

Pentru mine personal, aceasta este principala dovadă matematică a faptului că . Zero nu schimbă numărul atunci când este adăugat. Acest lucru se întâmplă deoarece adăugarea în sine este imposibilă dacă există un singur termen și lipsește al doilea termen. Puteți simți despre asta după cum doriți, dar amintiți-vă - toate operațiile matematice cu zero au fost inventate de matematicieni înșiși, așa că aruncați-vă logica și înghesuiți prostește definițiile inventate de matematicieni: „împărțirea cu zero este imposibilă”, „orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero”, „dincolo de punctul de puncție zero” și alte prostii. Este suficient să vă amintiți o dată că zero nu este un număr și nu veți mai avea niciodată o întrebare dacă zero este un număr natural sau nu, pentru că o astfel de întrebare își pierde orice semnificație: cum poate ceva care nu este un număr să fie considerat un număr ? Este ca și cum ai întreba în ce culoare ar trebui clasificată o culoare invizibilă. Adăugarea unui zero la un număr este la fel ca a picta cu vopsea care nu există. Am fluturat o pensulă uscată și le-am spus tuturor că „am pictat”. Dar mă abatem puțin.

Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem multă salată verde, dar nu suficientă apă. Ca urmare, vom obține borș gros.

Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem cantități egale de apă și salată. Acesta este borșul perfect (iertați-mă, bucătari, e doar matematică).

Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai mic de nouăzeci de grade. Avem multă apă și puțină salată. Veți obține borș lichid.

Unghi drept. Avem apă. Tot ce rămâne din salată sunt amintiri, pe măsură ce continuăm să măsurăm unghiul de la linia care marca odinioară salata. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este zero. În acest caz, ține-te și bea apă cât o ai)))

Aici. Ceva de genul. Pot spune și alte povești aici care ar fi mai mult decât potrivite aici.

Doi prieteni aveau acțiunile lor într-o afacere comună. După ce l-a ucis pe unul dintre ei, totul a mers către celălalt.

Apariția matematicii pe planeta noastră.

Toate aceste povești sunt spuse în limbajul matematicii folosind funcții unghiulare liniare. Altă dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, să revenim la trigonometrie borș și să luăm în considerare proiecțiile.

Sâmbătă, 26 octombrie 2019

miercuri, 7 august 2019

Încheind conversația despre, trebuie să luăm în considerare un set infinit. Ideea este că conceptul de „infinit” îi afectează pe matematicieni, așa cum un boa constrictor afectează un iepure. Oroarea tremurătoare a infinitului îi privează pe matematicieni de bunul simț. Iată un exemplu:

Se află sursa originală. Alpha reprezintă numărul real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu mulţimea infinită numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi prezentate după cum urmează:

Pentru a demonstra clar că au dreptate, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe șamani care dansează cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele dintre camere sunt neocupate și se mută noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Viziunea ta asupra solutii similare Am prezentat-o sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Relocarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră pentru un oaspete, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod stupid, dar acesta va fi în categoria „nicio lege nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: ajustarea realității la teoriile matematice sau invers.

Ce este un „hotel fără sfârșit”? Un hotel infinit este un hotel care are întotdeauna orice număr de paturi goale, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din nesfârșitul coridor „vizitatorului” sunt ocupate, există un alt coridor nesfârșit cu camere „de oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. Mai mult, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii nu sunt capabili să se distanțeze de problemele banale de zi cu zi: există întotdeauna un singur Dumnezeu-Allah-Buddha, există un singur hotel, există un singur coridor. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem imposibilul”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspunzi la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece numerele le-am inventat noi înșine, numerele nu există în Natură. Da, Natura se pricepe la numărătoare, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. Îți voi spune ce crede Natura altădată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Să luăm în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine oamenilor de știință adevărați.

Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua unul din setul pe care l-am luat deja și îl putem întoarce la raft. După aceea, putem lua unul de pe raft și îl putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, vom obține din nou un set infinit de numere naturale. Puteți nota toate manipulările noastre astfel:

Am înregistrat acțiunile în sistem algebric notație și în sistemul de notație adoptat în teoria mulțimilor, cu o enumerare detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.

Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raftul nostru. Subliniez – DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Să luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce obținem:

Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă adăugați un alt set infinit unui set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elementele primelor două seturi.

Mulțimea numerelor naturale este folosită pentru numărare în același mod ca o riglă pentru măsurare. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi o linie diferită, nu egală cu cea originală.

Poți să accepți sau să nu accepți raționamentul meu - este treaba ta. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme de matematică, gândiți-vă dacă urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, studiul matematicii, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi se adaugă la abilitățile noastre mentale (sau, dimpotrivă, ne privează de gândirea liberă).

pozg.ru

Duminică, 4 august 2019

Termineam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogata bază teoretică a matematicii Babilonului nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.

Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Ne este greu să privim matematica modernă din aceeași perspectivă? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am primit următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este holistică și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente greșeli ale matematicii moderne. Pe curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Să ne uităm la un exemplu.

Să avem destule A format din patru persoane. Acest set este format pe baza „oamenilor”. Să notăm elementele acestui set prin literă A, indicele cu un număr va indica numărul de serie al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „gen” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului A bazate pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum un set de „oameni cu caracteristici de gen”. După aceasta putem împărți caracteristicile sexuale în bărbați bmși de femei bw caracteristici sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care - bărbat sau femeie. Dacă o persoană o are, atunci o înmulțim cu unu, dacă nu există un astfel de semn, o înmulțim cu zero. Și apoi folosim matematica obișnuită de la școală. Uite ce sa întâmplat.

După înmulțire, reducere și rearanjare, am ajuns să avem două submulțimi: submulțimea bărbaților Bmși un subgrup de femei Bw. Matematicienii raționează aproximativ în același mod atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne spun detaliile, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni constau dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare: cât de corect a fost aplicată matematica în transformările prezentate mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că în esență totul a fost făcut corect este suficient să cunoașteți baza matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor ramuri ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.

În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset selectând unitatea de măsură prezentă în elementele acestor două seturi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac din teoria seturilor o relicvă a trecutului. Un semn că totul nu este bine cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au acționat ca odinioară șamanii. Doar șamanii știu cum să-și aplice „în mod corect” „cunoștințele”. Ei ne învață această „cunoaștere”.

În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.

luni, 7 ianuarie 2019

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Cu toții au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor ... analiza matematică, teoria seturilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.

Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca țestoasă infinit de repede”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea broaștei țestoase.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.
Vă voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solidul roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Acesta este modul în care șamanii își obțin hrana legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid cu coș cu fundă” și să combinăm aceste „întregii” în funcție de culoare, selectând elementele roșii. Avem mult „roșu”. Acum întrebarea finală: seturile rezultate „cu arc” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa va fi.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „solid roșu cu un coș și o fundă”. Formarea a avut loc în patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (coșuri), decor (cu fundă). Doar un set de unități de măsură ne permite să descriem în mod adecvat obiectele reale în limbajul matematicii. Așa arată.

Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. Unitățile de măsură prin care se distinge „întregul” în etapa preliminară sunt evidențiate între paranteze. Unitatea de măsură prin care se formează setul este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansul șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând că este „evident”, deoarece unitățile de măsură nu fac parte din arsenalul lor „științific”.

Folosind unități de măsură, este foarte ușor să împărțiți un set sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă la algebra acestui proces.

Relații trigonometrice (funcții) într-un triunghi dreptunghic

Raportul de aspect al unui triunghi este baza trigonometriei și geometriei. Cele mai multe probleme se reduc la utilizarea proprietăților triunghiurilor și cercurilor, precum și a liniilor drepte. Să ne uităm la ce sunt rapoartele trigonometrice în termeni simpli.

Rapoartele trigonometrice dintr-un triunghi dreptunghic sunt rapoartele lungimilor laturilor sale. Mai mult, acest raport este întotdeauna același în raport cu unghiul care se află între laturi, raportul dintre care trebuie calculat.

Figura prezintă un triunghi dreptunghic ABC.
Să luăm în considerare rapoartele trigonometrice ale laturilor sale în raport cu unghiul A (în figură este de asemenea notat cu litera grecească α).

Să luăm în considerare că latura AB a triunghiului este ipotenuza acestuia. Partea AC este piciorul, adiacent unghiului α, iar partea BC este un picior, unghi opus α.

În ceea ce privește unghiul α într-un triunghi dreptunghic, există următoarele relații:

Cosinusul unghiului este raportul dintre latura adiacentă și ipotenuza unui triunghi dreptunghic dat. (vezi ce este cosinusul și proprietățile lui).
În figură, cosinusul unghiului α este relația cos α =UN TAXI(gamba adiacentă împărțită la ipotenuză).
Vă rugăm să rețineți că pentru unghiul β latura adiacentă este deja latura BC, prin urmare cos β = BC / AB. Adică, rapoartele trigonometrice sunt calculate în funcție de poziția laturilor unui triunghi dreptunghic față de unghi.

În acest caz, denumirile literelor pot fi orice. Tot ce contează este poziția relativă unghiurile și laturile unui triunghi dreptunghic.

Sinusul unghiului se numește raportul dintre latura opusă și ipotenuza unui triunghi dreptunghic (vezi ce este sinusul și proprietățile lui).
În figură, sinusul unghiului α este relația sin α = BC / AB(piciorul opus împărțit la ipotenuză).
Deoarece poziția relativă a laturilor unui triunghi dreptunghic față de un unghi dat este importantă pentru determinarea sinusului, atunci pentru unghiul β funcția sinus va fi sin β = AC / AB.

Tangenta unghiului se numește raportul dintre catetul opus unui unghi dat și catetul adiacent al unui triunghi dreptunghic (vezi ce este o tangentă și proprietățile ei).
În figură, tangenta unghiului α va fi egală cu relația tg α = BC / AC. (partea opusă colțului este împărțită de latura adiacentă)
Pentru unghiul β, ghidat de principii poziție relativă laturi, tangenta unghiului poate fi calculată ca tg β = AC / BC.

Cotangenta unghiului este raportul dintre latura adiacentă unui unghi dat și latura opusă a unui triunghi dreptunghic. După cum se poate vedea din definiție, cotangenta este o funcție legată de tangentă prin raportul 1/tg α. Adică sunt reciproc inverse.